Obraz kružnice v kolineácii, kužeľosečky.
Website: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurs: | Planimetria a stereometria N |
Buch: | Obraz kružnice v kolineácii, kužeľosečky. |
Gedruckt von: | Gast |
Datum: | Mittwoch, 3. Juli 2024, 10:27 |
Rozšírený Euklidovský priestor
Pri riešení niektorých geometrických úloh je výhodné rozšíriť Euklidovský priestor o tzv. nevlastné prvky. V rozšírenom Euklidovskom priestore pre vlastné útvary platia všetky vety a axiómy, ktoré sme uviedli v Hilbertovom axiomatickom systéme. Pre nevlastné prvky je potrebné doplniť o niektoré špecifické tvrdenia projektívnej geometrie.
Nevlastný bod
- Nech je daná priamka
a bod
, ktorý na nej neleží.
- Postupne otáčame priamku
okolo bodu
.
- Zostrojme priesečníky
s priamkou
.
- Pri vhodnom nastavení bude priamka
rovnobežná s priamkou
(resp. splynie s priamkou
).
- V tomto prípade v Euklidovskom priestore
neexistuje priesečník.
- Ako limitný prípad budeme rovnobežky považovať za priamky, ktoré majú spoločný bod v nekonečne.
- Tento bod, ktorý nevieme zobraziť v
, nazveme nevlastný bod a označíme ho
.
Nevlastná priamka
Analogickou úvahou/konštrukciou môžeme uvažovať o priesečnici dvoch rovnobežných rovín. Priesečnicu rovnobežných rovín nazveme nevlastná priamka roviny. Existuje len jedna nevlastná priamka roviny, ktorá zrejme obsahuje všetky nevlastné body tejto roviny.
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru. Existuje len jedna. Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
Analogickou úvahou/konštrukciou môžeme uvažovať o priesečnici dvoch rovnobežných rovín. Priesečnicu rovnobežných rovín nazveme nevlastná priamka roviny. Existuje len jedna nevlastná priamka roviny, ktorá zrejme obsahuje všetky nevlastné body tejto roviny.
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru. Existuje len jedna. Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
Poznámky.
- Zavedenie nevlastných prvkov vyšlo z pojmu rovnobežnosti priamok a rovín.
- Nevlastné prvky ale nemajú niektoré vlastnosti, ktoré majú vlastné prvky.
- Nie je možné napríklad hovoriť o smere nevlastnej priamky, veľkosti úsečky na nevlastnej priamke a i.
Obraz kružnice
Tvrdenie
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie alebo pomocou Quételet-Dandelin vety1).
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie alebo pomocou Quételet-Dandelin vety1).
Poznámky.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.
- Elipsa má všetky body vlastné. Teda nemá nevlastné body.
Kružnica s úbežnicou
nemá spoločný bod.
- Parabola má jeden nevlastný bod (má jednu vetvu).
Kružnica s úbežnicou
má spoločný jeden bod.
- Hyperbola má dva nevlastní body (dve vetvy), ktoré leží v smere asymptóta.
Kružnica s úbežnicou
má dva spoločné body.
___________________________________________________________________________
1) Diplomová práca Kužeľosečky (Quetelet-Dandelin veta). Dostupné Tu.
1) Diplomová práca Kužeľosečky (Quetelet-Dandelin veta). Dostupné Tu.
Kružnica → elipsa
Tvrdenie
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie.
Poznámky.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.
- Elipsa má všetky body vlastné. Teda nemá nevlastné body.
Kružnica s úbežnicou
nemá spoločný bod.
- Parabola má jeden nevlastný bod (má jednu vetvu).
Kružnica s úbežnicou
má spoločný jeden bod.
- Hyperbola má dva nevlastní body (dve vetvy), ktoré leží v smere asymptóta.
Kružnica s úbežnicou
má dva spoločné body.
Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice
v stredovej kolineácii
, ak kružnica
nemá s úbežnicou
spoločný bod:
. Otvorte si zadanie Tu.
Riešenie
Keďže kružnica
nemá s úbežnicou
spoločný bod, tak obrazom bude elipsa.
Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu
Zostrojte obraz kružnice
![k(O,r) k(O,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c1aebe00e339e8b0cb5dacaeae0aa3d.png)
![\mathscr{K}(S, o,u) \mathscr{K}(S, o,u)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/416e032d56632c2925c75b1cfe097c4a.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
![k \cap u = ∅ k \cap u = ∅](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee66206b3b7c38b167e266bb275b142f.png)
Riešenie
Keďže kružnica
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
- Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej združene priemery1)
.
- Zvoľme si ľubovoľný úbežník
a zostrojme z neho dotyčnice
,
ku kružnici.
- Zostrojme priesečník/úbežník
a opäť dotyčnice
,
ku kružnici
- Úbežníky
sa zobrazujú do nevlastných bodov, preto obrazy dotyčníc
(
) budú rovnobežné priamky.
Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu
Z postupu riešenia vyplýva, že tetiva kružnice, ktorá spája dotykové body je priemerom elipsy. Na zostrojenie hlavnej a vedľajšej osi elipsy môžeme použiť napr. Rytzovu konštrukciu.
1) Dva priemery elipsy sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.
Kružnica → parabola
Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice
v stredovej kolineácii
, ak kružnica
má s úbežnicou
jeden spoločný bod:
a os kolineácie pretína v dvoch bodoch
.
Riešenie
Keďže kružnica
má s úbežnicou
spoločný práve jeden bod, tak obrazom bude parabola.
Zostrojte obraz kružnice
![k(O,r) k(O,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c1aebe00e339e8b0cb5dacaeae0aa3d.png)
![\mathscr{K}(S, o,u) \mathscr{K}(S, o,u)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/416e032d56632c2925c75b1cfe097c4a.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
![k \cap u = U k \cap u = U](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b10709f57b22f604fad0f59a8182c5f2.png)
![T, R T, R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf47ae279e5053abf0305d5a92780284.png)
Riešenie
Keďže kružnica
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
- Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej dve dotyčnice
s dotykovými bodmi
.
- Pri použití lichobežníkovej metódy nám stačí zostrojiť obrazy dotyčníc
.
- Zostrojme priesečník/úbežník
a smer
.
- Obrazom dotyčnice
bude priamka prechádzajúca samodružným bodom
, ktorá je rovnobežná so smerom
.
Poznámka.
V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" paraboly nástroj "Množina bodov".
Veta
Spojnica priesečníka dvoch rôznych dotyčníc paraboly so stredom tetivy určenej ich dotykovými bodmi je rovnobežná s osou paraboly.
Spojnica priesečníka dvoch rôznych dotyčníc paraboly so stredom tetivy určenej ich dotykovými bodmi je rovnobežná s osou paraboly.
- Veďme bodom
kolmicu
k smeru osi paraboly. Smer osi paraboly zostrojíme podľa predchádzajúcej vety.
- Bodmi
veďme rovnobežky s osou, ich priesečníky s kolmicou k označme
.
- Vrchol
paraboly zostrojíme ako priesečník priamok
.
- Os paraboly prechádza vrcholom a je rovnobežná s
.
![(V ∈ t_V, t_V ⊥ o) (V ∈ t_V, t_V ⊥ o)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1478ac30c8906c50dfc5c52591cb0f96.png)
![A, B, C, D A, B, C, D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da9917f7995755aff5c41fecc3549375.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
1) Konštrukcia paraboly lichobežníkovou metódou, ak poznáme dve dotyčnice s dotykovými bodmi. Dostupné
Tu.
Kružnica → hyperbola
Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice
v stredovej kolineácii
, ak kružnica
má s úbežnicou
dva spoločné body:
a os kolineácie pretína v dvoch bodoch
.
Riešenie
Keďže kružnica
má s úbežnicou
spoločné dva body, tak obrazom bude hyperbola.
Zostrojte obraz kružnice
![k(O,r) k(O,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c1aebe00e339e8b0cb5dacaeae0aa3d.png)
![\mathscr{K}(S, o,u) \mathscr{K}(S, o,u)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/416e032d56632c2925c75b1cfe097c4a.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
![k \cap u = {U,V} k \cap u = {U,V}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2c2a2375f41fe6372f561ba7fa94e801.png)
![X_u, X_v X_u, X_v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/621cc6b8a1042cccbb7d45ee64937bb3.png)
Riešenie
Keďže kružnica
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
- Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej asymptoty a jej hlavné vrcholy.
- Zostrojme dotyčnice
v bodoch
ku kružnici
.
- Nájdime obrazy
. Priamky
sú asymptoty hyperboly.
- Priesečník asymptot
(ozn.
) je stredom hyperboly.
- Osy hyperboly
rozpoľujú uhly asymptot. Hlavnú os
označíme tú, pre ktorú odpovedajúca priamka
pretína kružnicu
v dvoch bodoch. Označme ich
.
- Bodom
odpovedajú body
hyperboly
, ktoré sú jej hlavné vrcholy.
Poznámka.
V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" hyperboly nástroj "Množina bodov".
Obraz ako GMB
Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice
v stredovej kolineácii
, ak kružnica
je v ľubovoľnej polohe k úbežnici
.
Otvorte si zadanie Tu.
Riešenie
Pri riešení využijeme GeoGebra nástroj "Množina bodov". Pri jeho použití nám bude postačovať obraz jediného avšak ľubovoľného bodu križnice.
Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu. Kolineácia v základnej polohe Tu.
Zostrojte obraz kružnice
![\small k(O,r) \small k(O,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e56311b4851636e49a56c3c2e7b7134e.png)
![\small \mathscr{K}(S, o,u) \small \mathscr{K}(S, o,u)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a37a6701fa60931037d4fe4c5b20b51f.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
Riešenie
Pri riešení využijeme GeoGebra nástroj "Množina bodov". Pri jeho použití nám bude postačovať obraz jediného avšak ľubovoľného bodu križnice.
- Zvolíme si ľubovoľný bod
.
- Zostrojíme obraz tohto bodu
.
- Aktivujeme nástroj "Množina bodov", potom ukážeme na bod
a následne na bod
.
- GeoGebra vykreslí odpovedajúcu kužeľosečku.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438834/mod_book/chapter/11258/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202022-11-30%20161839%20%282%29.png)
Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu. Kolineácia v základnej polohe Tu.
...
Kuželosečky
Kužeľosečky sú krivky, ktoré, ako nám napovedá ich názov, je možné vytvoriť ako rezy rotačnej kužeľovej plochy rovinou. S takýmito krivkami sa stretávame v bežnom živote.
- Predstavte si napríklad hranicu hladiny vody v naklonenom pohári, kde hladina vody predstavuje rovinu rezu.
- Pri osvetlení baterkou na stenu a pozorujeme, ako sa osvetlená plocha mení v závislosti na polohe osi baterky vzhľadom na rovinu steny. Ak je os baterky v polohe kolmej k rovine múru, bude hranicu osvetlenej časti tvoriť kružnica, pri naklonení dostávame elipsu, alebo v určitej polohe dostaneme parabolu a ak nakloníme baterku ešte viac bude hranicou osvetlenej časti hyperbola.1)
Rezy rovinou na kužeľovej ploche, ktorá vznikne rotáciou dvoch rôznobežných priamok okolo osi ich uhla.
Otvorte si applet Tu
___________________________________________________________________________
1) Obrázky sú prevzaté s práce "Deskriptivní geometrie na MFF UK"
1) Obrázky sú prevzaté s práce "Deskriptivní geometrie na MFF UK"
Definícia kužeľosečky
Všeobecná definícia kuželosečky
Kužeľosečka je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu
a pevne zvolenej priamky
stály pomer vzdialeností rovný konštante
. Pre
Kužeľosečka je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu
![\small F \small F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a577b60879283182a66d214a717f397f.png)
![\small d:F \notin d \small d:F \notin d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/289b3e8286637ceb6980d365af6ef3d9.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
Bod
sa nazýva ohnisko kužeľosečky, priamka
riadiaca priamka (direktrix). Číslo
sa nazýva numerická výstrednosť.
Týmto spôsobom môžeme definovať všetky regulárne kužeľosečky okrem kružnice.
![\small F \small F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a577b60879283182a66d214a717f397f.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/318522954fc860fb30f295ce3674ccdd.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
Týmto spôsobom môžeme definovať všetky regulárne kužeľosečky okrem kružnice.
Poznámky
Na demonštráciu konštrukcie kužeľosečiek je možné s výhodou využiť sieť kružníc a priamok. Ak zvolíme ohnisko
v strede sústavy kružníc a riadiacu priamku sťažíme s ľubovoľnou priamkou (tak, aby
), môžeme jednotlivé body kuželosečiek
hľadať ako priesečníky kružníc a priamok ktorých polomer a vzdialenosť od riadiacej priamky sú v konštantnom pomere.
Otvorte si applet
Tu
Na demonštráciu konštrukcie kužeľosečiek je možné s výhodou využiť sieť kružníc a priamok. Ak zvolíme ohnisko
![\small F \small F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a577b60879283182a66d214a717f397f.png)
![\small F \notin d \small F \notin d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20492bc7602dc131abe5784968fba9ca.png)
Applet - Tlačidlá
Tu
Ohniskové vlastnosti
Bodová konštrukcia a ohniskové vlastnosti elipsy. Okrem všeobecnej definície kužeľosečky sa pre elipsu využíva definícia,
ktorá umožňuje jednoduchšiu bodovú konštrukciu elipsy.
Elipsa
je množina všetkých bodov v danej rovine
, ktorých súčet vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov
je rovný danému číslu
,
ktoré je väčšie ako vzdialenosť bodov
.
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![\small F_1, F_2 \small F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcdb7f38868fb09d000ad53f5c83d190.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ead9a9403dc82fff17a740a09c7090e5.png)
![\small F_1, F_2 \small F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcdb7f38868fb09d000ad53f5c83d190.png)
Všeobecné body elipsy
Pre bod M platí:
. Konštrukciu všeobecných bodov tak možno ľahko vykonať pomocou kružidla1).
Pre bod M platí:
![\small |F_1M| + |F_2M| =2a \small |F_1M| + |F_2M| =2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad30682c0187cdd77cc4f462594353d8.png)
Poznámky.
Parabola je množina všetkých bodov v danej rovine
, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky
a od daného bodu
, ktorý na priamke
neleží.
Bodová konštrukcia
Tu
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/318522954fc860fb30f295ce3674ccdd.png)
![\small F \small F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66e8153344d9d5a05e414671e03beab4.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/318522954fc860fb30f295ce3674ccdd.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438834/mod_book/chapter/11261/Sn%C3%ADmkaK6%20%282%29.png)
Poznámky.
- ohnisko;
- riadiaca priamka;
- os; vzdialenosť
- parameter paraboly;
... vrcholová dotyčnica;
- vrchol (stred úsečky
)
- všeobecné body paraboly priamka
a rovnobežka s osou bodom
- sprievodič bodu
; uhol
(a uhol k nemu vrcholový) je tzv. vonkajší uhol sprievodičov
- bod súmerne združený s ohniskom
podľa dotyčnice
; 1 ... stred hyperoskulačnej kružnice vo vrchole
; platí
Hyperbola je množinou všetkých bodov v danej rovine
, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov
je rovný danému číslu
, ktoré je menšie ako vzdialenosť bodov
.
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![\small F_1, F_2 \small F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20014fbdb689bb2be0596b35ef6cd6a2.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ead9a9403dc82fff17a740a09c7090e5.png)
![\small F_1, F_2 \small F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcdb7f38868fb09d000ad53f5c83d190.png)
___________________________________________________________________________
1) Applety ku kužeľosečkám nájdete od autora Martina Vinklera Tu
1) Applety ku kužeľosečkám nájdete od autora Martina Vinklera Tu