Geometrické zobrazenia2
Stredová kolineácia
Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny
a bod
, ktorý neleží ani v jednej z nich.
Nech sú dané dve rôzne roviny
![\alpha, \alpha' \alpha, \alpha'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d439c724db7d3a0f0d473abf22058d0.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
- Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu
do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia.
- Stred premietania
sa nazýva stred kolineácie. Priamku
, priesečnicu rovín
, nazývame osou stredovej kolineácie.
Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami
Vlastnosti.
- Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod
leží v rovine rovnobežnej s rovinou
, tak priamka
sa s rovinou
pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod
.
- Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
- Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
- Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.
Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:
- Vlastný bod
, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného
nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
- Vlastný bod
, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu
nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
- Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.
Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.
Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami
v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami
![\alpha, \alpha' \alpha, \alpha'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ad3f68ad7233e5780d9984b8e9d1f7c.png)
- Zvolíme si rovinu
, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín
.
- Os kolineácie
, stred kolineácie
a zodpovedajúce si body
premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny
.
- Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body
platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
- Stred kolineácie
je rovnobežným priemetom stredu
, podobne body
sú priemety bodov
.
- Dvojicu odpovedajúcich si bodov
nazývame kolineárne združené body.
- Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom
, osou
a dvojicou odpovedajúcich si bodov
. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie
.
Cvičenie.
Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
- nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
- má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
- má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.