Geometrické zobrazenia2

Geometrické zobrazenia $\small f$ v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.

Definícia (Samodružné prvky).

1. Samodružný bod $\small X \in \mathbb E_2$ je bod, ktorý sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba. Platí: $\small X' = f(X)$.
2. Samodružná priamka $\small p \subset \mathbb E_2$ je priamka, ktorá sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sama na seba $\small p= f(p)$. Zároveň existuje bod $\small P \in p$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small P' \neq P ; P' \in p$ .
3. Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.

Zvoľme si v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ dve rôznobežné priamky $\small o=PQ, s=AA'$. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie $\small OA$ s vlastnosťami

1. Obrazom ľubovoľného bodu $\small X \in o=PQ$ je ten istý bod $\small X$, priamka $\small o=PQ$ je bodovo samodružná.
2. Obrazom ľubovoľného bodu $\small B \in \mathbb E_2$ je bod $\small B' \in \mathbb E_2$, ktorý leží na priamke $\small s^B=BB' \parallel s=AA'$.
3. Obrazom priamky $\small m=AB$ je priamka $\small m'=A'B'$, pričom bod $\small 1=m \cap m'$ je samodružný. V prípade rovnobežnosti $\small m \parallel o$ je tiež $\small m' \parallel o$ (bod 1 je nevlastný).
4. Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou $\small s=AA'$ je tá istá priamka, priamka je samodružná.
5. Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.

Vlastnosti.

• osová afinita je jednoznačne určená priamkou $\small o=PQ$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$,
• priamku $\small o=PQ$ nazývame os afinity a priamku $\small s=AA'$ nazývame smer afinity,
• osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].

Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostranný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určiť.

Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník $\small ABC$ zobrazil do rovnostranného trojuholníka $\small A'B'C'$. Zadanie Tu.        .

Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $(\small A, A'$$)$. Zostrojte bod $\small B'$, ktorý je obrazom daného bodu $\small B$. Nech $m =\small AB$ je priamka určená bodmi $\small A, B$. Uvažujme dva prípady:

1. Priamka $m$ je rôznobežná s osou $o$, riešenie Tu.
2. Ak priamka $m$ je rovnobežná s osou $o$ tak použijeme konštrukciu:
   • zvoľme si vhodnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá nie je rovnobežná s osou $o$
   • na priamke $p$ si zvoľme bod $\small C$ tak, aby priamka $\small BC$ nebola rovnobežná s osou $o$
   • obrazom priamky $\small p = AC$ je priamka $\small a´= A´1$, obraz $\small C´$ bodu $\small C$ musí ležať na priamke $a´$
   • bodmi $\small B, C$ je určená priamka $\small b = BC$, obrazom priamky $b$ je priamka $\small b´= C´2$
   • obraz $\small B´$ bodu $\small B$ musí ležať na priamke $b´$, riešenie Tu.

Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).

Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.

1. Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
   Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.)

1. Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
   V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Stiahnite si Rytzovu konštrukciu Tu a pozrite si prácu [PLI].

Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".

Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny $\alpha, \alpha'$ a ich priesečnicu označme $o$. Zvoľme ďalej smer $s$, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami $\alpha, \alpha'$. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny $\alpha$ bodom a priamkam roviny $\alpha'$ tak, že platí:

• spojnice zodpovedajúcich si bodov sú rovnobežné s priamkou $s$,
• priesečníky zodpovedajúcich si priamok ležia na priamke $o$.

Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.

• Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
• Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).

• Rovina $\rho$ zodpovedá rovine rezu, rovina $\rho'$ zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad $\small AE$. Zodpovedajúce si body sú napríklad body  $\small A,A'$. Os $o$ je priesečnica rovín $\rho, \rho'$ a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami

Otvorte si dynamický obrázok Tu.

Vlastnosti.

1. Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod $\small U \in \alpha$ leží v rovine rovnobežnej s rovinou $\alpha'$, tak priamka $\small \overleftrightarrow{SU}$ sa s rovinou $\alpha'$ pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod $\small V_ \infty$.

1. Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
2. Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
3. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer, ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.

Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu je nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:

1. Vlastný bod $\small U$, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného $\small U'_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
2. Vlastný bod $\small V'$, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu $\small V_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
3. Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.

Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred $\small S$ je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.

Otvorte si krokované riešenie Tu.

Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami $\alpha, \alpha'$ v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.

1. Zvolíme si rovinu $\pi$, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín $\alpha, \alpha'$.
2. Os kolineácie $o$, stred kolineácie $\small S$ a zodpovedajúce si body $\small A,A'$ premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny $\pi$.
3. Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body $\small A*, A'*$ platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
4. Stred kolineácie $\small S*$ je rovnobežným priemetom stredu $\small S$, podobne body $\small A*, A'*$ sú priemety bodov $\small A,A'$.
5. Dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ nazývame kolineárne združené body.
6. Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom $\small S$, osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A → A'$. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$. Zadanie Tu.

Cvičenie. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte úbežnicu 1. druhu.

Pomoc pri hľadaní úbežnice.
Zvolíme si ľubovoľnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá neprechádza stredom  $\small S$ a nie je rovnobežná s osou $o$, a nájdeme jej obraz  $p'$ . Zvolíme bod $\small A \in p$, ktorý sa zobrazí na nevlastný bod $\small U´_∞$. $\small U´_∞$ je určený smerom priamky $p'$. Pre body $\small U,U´_∞$ musí platiť, že leží na priamke prechádzajúcej stredom kolineácie $\small S$. Priamka $q$, na ktorej ležia body $\small U,U´_∞$ , preto prechádza stredom kolineácie $\small S$. Bod  $\small U´_∞$ leží v smere priamky $p'$, preto je priamka $q$ rovnobežná s priamkou $p'$. Bod $\small U$  leží na spojnici $\small SU´_∞$  (priamke $q$) a zároveň na priamke $p$. (\small U = p ∩ q\). Teraz poznáme jeden úbežník  $\small U$. Z predchádzajúceho vieme, že úbežnice a os kolineácie sú vzájomne rovnobežné. Úbežnica $u$ je preto rovnobežná s osou kolineácie $o$ a prechádza úbežníkom $\small U$.

Cvičenie.

1. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte(určte) obe úbežnice. Riešenie Tu.
2. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ (použite applet pre kolineáciu Tu) zostrojte obraz bodu $\small A$a priamky $\small a:a \in A$. Riešenie Tu.
3. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ zostrojte obraz trojuholníka $\small ABC$. Strany $\small AB, AC$ pretínajú úbežnicu $u$.
   
   Zadanie Tu. Riešenie Tu. .

Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).

Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou

1. nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
2. má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
3. má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.

Pozrite si riešené príklady Tu.

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $\small M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia 20
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva \small
$\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
margin-left: 80px;"> $\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.