Geometrické zobrazenia2
Zobrazenia
Posunutie
Definícia.
Daný je vektor
. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu
je bod
, pričom platí rovnosť vektorov
, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor
nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor
budeme označovať
.
Daný je vektor
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19835aed54b4a15cbc2200e4fa7ec287.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f42dd5bf167fe384a5997f3b81accbc.png)
![\small \vec{u}=\vec{XX'} \small \vec{u}=\vec{XX'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7078c591289bc70538b740c001fd390.png)
Vektor
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/710172fefd740810cfe777d4423f2bc9.png)
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/710172fefd740810cfe777d4423f2bc9.png)
![\tau_{\vec{u} } \tau_{\vec{u} }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/60519e56d2a084989a03c04aea0cfe7f.png)
Tvrdenie.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".
Definícia.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán
a veľkosť
uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaf58289bce922a4d59c977855eec7ef.png)
Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou
a vektorom
budeme označovať
).
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19835aed54b4a15cbc2200e4fa7ec287.png)
![\psi_{o;\vec{u}} \psi_{o;\vec{u}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fe5a255e5355799aac0c79ebe004566.png)
Poznámka.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.
Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.
Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti
a nech
sú navzájom rôzne priamky.
Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:
Nech sú dané osové súmernosti
![\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3) \sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ddb82ab6f5de040752558af153065226.png)
![o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1 o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee0cf68d92b0969930d8d812f96428e2.png)
- Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
- Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
- Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.