Jordanova miera
Miera rovinného útvaru
Postup určenia obsahu útvaru
Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru
tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete.
![U U](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76b4e9e298c3e57c3528ab198633897d.png)
V prvom kroku merania (určovania obsahu útvaru) si zvolíme štvorcovú sieť
s rozmerom
. (Napríklad
).
![S_{e_1} S_{e_1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a9ce1427e773ccf8e1318f3af324d242.png)
![e_1 e_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de6e03c4744fb581a15c6a093e2e14e3.png)
![1 dm 1 dm](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/279ff7f21622b92006b1bb63a4bf6160.png)
- Jednotka miery je štvorec
so stranou
a podľa dohovoru pre jeho veľkosť/obsah
platí
.
- Určíme všetky štvorce, ktoré patria do jadra
- Nech
je počet štvorcov siete, ktoré patria do jadra útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru. - Podobne postupujeme pri určovaní obsahu obalu. Spočítame všetky štvorce, ktoré patria obalu
meraného útvaru
.
- Nech
je počet štvorcov siete, ktoré patria do obalu útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
čo predstavuje horný odhad obsahu meraného útvaru. - Po prvom meraní dôjdeme k záveru, že pre obsah
útvaru
platí
čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru. Ak nám takýto odhad nestačí, zjemníme štvorcovú sieť.
V druhom kroku merania zvolíme menšiu jednotkovú úsečku
. (Napríklad
).
![e_2= \frac{1}{10} e_1 \Leftrightarrow e_1=10e_2 e_2= \frac{1}{10} e_1 \Leftrightarrow e_1=10e_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16132894acb7c7ec4a03bcd032b14e10.png)
![1cm 1cm](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d01839bb33e1d5c9423bedd923198c67.png)
- Teraz jednotka miery je štvorec
, ktorý má 100 násobne menší obsah ako štvorec
. Pre jeho obsah platí
.
- Zrejme platí, že každý štvorec z jadra
obsahuje 100 menších štvorcov zjemnenej štvorcovej siete.
- Tieto menšie štvorce určite patria do jadra
, ktoré bolo vytvorené v zjemnenej sieti. Preto platí
- Analogické vzťahy platia aj pre obsah obalu:
.
- Z predchádzajúcich vzťahov a po
krokoch zjemňovania siete dostaneme
.
Potom
zrejme postupnosť
je neklesajúca, zhora ohraničená a postupnosť
je
nerastúca, zdola ohraničená.
Členy postupnosti
sú dolné ohraničenia a členy postupnosti
sú horné
ohraničenia veľkosti útvaru
a limity týchto postupností sa rovnajú hodnote
.
![{S(J_n)}^ \infty _{i=1} {S(J_n)}^ \infty _{i=1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e7b52e091564de610427c0278a1796d0.png)
![{S(O_n)}^ \infty _{i=1} {S(O_n)}^ \infty _{i=1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5a955c8ad90558f1e746600edeecaca.png)
![{S(J_n)}^ \infty _{i=1} {S(J_n)}^ \infty _{i=1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e48fafe4096679ccefba794e37e3fb6f.png)
![{S(O_n)}^ \infty _{i=1} {S(O_n)}^ \infty _{i=1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c8d30bb3c32b6d3836178c30c20a7213.png)
![U U](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76b4e9e298c3e57c3528ab198633897d.png)
![S(U) S(U)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9f214d848af7d8b18cce93120f59780.png)