Cvičenie - Pytagoras

Cvičenie.
  1. Zostrojte úsečku dĺžky \small \sqrt{13} využitím Pytagorovej vety a Euklidových viet. 
  2. V pravouhlom trojuholníku \small ABC (pravý uhol pri vrchole \small C ) sú dané ťažnice t_a=5cm, t_b=2\sqrt{10} . Zostrojte taký trojuholník a pomocou Pytagorovej vety vypočítajte dĺžky strán tohto trojuholníka.
  3. Je daný rovnostranný trojuholník  ABC so stranou dĺžky a . Určte:
    • jeho výšku \small v
    • polomer kružnice opísanej
    • polomer kružnice vpísanej
  4. V obdĺžnikovej záhrade rastie broskyňa. Tento strom je od dvoch susedných rohov záhrady vzdialený 5 metrov a 12 metrov a vzdialenosť medzi spomínanými dvoma rohmi je 13 metrov. Ďalej vieme, že broskyňa stojí na uhlopriečke záhrady. Aká veľká môže byť plocha záhrady? (MO Kat. Z)
  5. Je daná kružnica \small k (S;2) a ľubovoľný bod \small A , taký, že platí >\small SA = 4 . Z bodu \small A sú zostrojené dotyčnice ku kružnici\small k a body dotyku týchto dotyčníc \small T_1 , T_2 . Určte: →
    • veľkosť úsečky \small AT_1
    • vzdialenosť stredu \small S od úsečky \small T_1T_2
    • veľkosť úsečky \small T_1T_2
  6. Rozhodnite, či každý trojuholník o stranách \small 2n, n^2 + 1, n^2 - 1 pre \small n \geq 2 je pravouhlý. Ktorá z uvedených strán je jeho preponou?
  7. Do štvorca \small ABCD vpíšte rovnostranný trojuholník \small KLM tak, aby platilo \small  K=A, L \in BC, M \in CD . Vypočítajte veľkosť strany vpísaného trojuholníka. 
  8. Zostrojte štvorec, ktorý má rovnaký obsah ako obdĺžnik o stranách 5 cm; 3 cm.
  9. Obdĺžnik \small ABCD má veľkosť susedných strán v pomere 3: 4, priemer opísanej kružnice je 10 cm. Určte veľkosti strán.
  10. Vytvorte konštrukciu, v ktorej sa zobrazia odmocniny prirodzeného čísla n ako prepony pravouhlých trojuholníkov \small A_0A_kA_{k+1} . Prepona \small A_0A_{k+1} bude odvesnou ďalšieho trojuholníka. Číslo \small n určte posuvníkom.
  11. Riešte úlohy zo zbierky Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Otvorte si zadania Tu.

\( .\)