Významné prvky trojuholníka - cvičenia

Cvičenie

1. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý sú dané ťažnice $t_a , t_b , t_c$. Zadanie Tu
2. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je dané: $AB , v_a , t_c$. Zadanie Tu. Riešenie vyhľadajte v práci ^[1]
3. ♥ Daná je úsečka $AA_0$ a priamka $p$. Zostrojte trojuholník $ABC$ s vrcholom $A$ a výškou $AA_0$, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke $p$. ^[2]
4. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je daná výška $v_a$ a ťažnice $t_a, t_b$. ^[3]
5. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý sú dané výšky $v_a , v_b , v_c$. Riešenie Tu.
6. Dokážte, že pre ťažnice $t_a, t_b, t_c$ platí vzťah: $\frac{1}{2} (a+b+c) < t_a + t_b + t_c < a+ b + c$.^[4]
7. ♥♥ Dokážte, že ťažnice v ľubovoľnom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode pomocou osovej afinity.

Veľkosti daných úsečiek (ťažnice, výšky a pod.) sú v jednotlivých cvičeniach zadané pomocou posuvníkov.

[1] Davidová, E.: Řešení planimetrických konstrukčních úloh. Ostrava 2005. Dostupné Tu.
[2] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Vyhľadajte autorské riešenie na stránke MO Tu.
[3] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu
[4] Križalkovič, K. a kol.: 500 riešených úloh z geometrie Alfa, Bratislava 1972, str.19.
[♥] Jedno srdiečko = jeden plusový bod 

Cvičenie.

1. Zostrojte úsečku dĺžky $\small \sqrt{13}$ využitím Pytagorovej vety a Euklidových viet. 
2. V pravouhlom trojuholníku $\small ABC$ (pravý uhol pri vrchole $\small C$) sú dané ťažnice $t_a=5cm, t_b=2\sqrt{10}$. Zostrojte taký trojuholník a pomocou Pytagorovej vety vypočítajte dĺžky strán tohto trojuholníka.
3. Je daný rovnostranný trojuholník $ABC$ so stranou dĺžky $a$. Určte:
• jeho výšku $\small v$
• polomer kružnice opísanej
• polomer kružnice vpísanej
4. V obdĺžnikovej záhrade rastie broskyňa. Tento strom je od dvoch susedných rohov záhrady vzdialený 5 metrov a 12 metrov a vzdialenosť medzi spomínanými dvoma rohmi je 13 metrov. Ďalej vieme, že broskyňa stojí na uhlopriečke záhrady. Aká veľká môže byť plocha záhrady? (MO Kat. Z)
5. Je daná kružnica $\small k (S;2)$ a ľubovoľný bod $\small A$, taký, že platí >$\small SA = 4$. Z bodu $\small A$ sú zostrojené dotyčnice ku kružnici$\small k$ a body dotyku týchto dotyčníc $\small T_1 , T_2$. Určte: →
• veľkosť úsečky $\small AT_1$
• vzdialenosť stredu $\small S$ od úsečky $\small T_1T_2$
• veľkosť úsečky $\small T_1T_2$
6. Rozhodnite, či každý trojuholník o stranách $\small 2n, n^2 + 1, n^2 - 1$ pre $\small n \geq 2$ je pravouhlý. Ktorá z uvedených strán je jeho preponou?
7. Do štvorca $\small ABCD$ vpíšte rovnostranný trojuholník $\small KLM$ tak, aby platilo $\small  K=A, L \in BC, M \in CD$. Vypočítajte veľkosť strany vpísaného trojuholníka. 
8. Zostrojte štvorec, ktorý má rovnaký obsah ako obdĺžnik o stranách 5 cm; 3 cm.
9. Obdĺžnik $\small ABCD$ má veľkosť susedných strán v pomere 3: 4, priemer opísanej kružnice je 10 cm. Určte veľkosti strán.
10. Vytvorte konštrukciu, v ktorej sa zobrazia odmocniny prirodzeného čísla $n$ ako prepony pravouhlých trojuholníkov $\small A_0A_kA_{k+1}$. Prepona $\small A_0A_{k+1}$ bude odvesnou ďalšieho trojuholníka. Číslo $\small n$ určte posuvníkom.
    
11. Riešte úlohy zo zbierky Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Otvorte si zadania Tu.