Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Zhodnosť a podobnosť trojuholníkov
Vety o zhodnosti trojuholníkov
Veta (o zhodnosti trojuholníkoch).
- (sus) Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom sú zhodné.
- (sss) Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v troch stranách sú zhodné.
- (usu) Ak sa dva trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých, tak sú zhodné.
- (Ssu) Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej strane, tak sú zhodné.
Poznámka.
Uvedieme len dôkazy prvých dvoch viet tak, ako sú uvedené v Euklidových Základoch. Dôkazy viet (usu) a (Ssu) prenechávame čitateľovi ako cvičenie. Vyhľadajte v Základoch tieto vety a upravte Euklidove dôkazy tak, aby boli v súlade s modernou terminológiou.
Dôkaz.
Uvedieme len dôkazy prvých dvoch viet tak, ako sú uvedené v Euklidových Základoch. Dôkazy viet (usu) a (Ssu) prenechávame čitateľovi ako cvičenie. Vyhľadajte v Základoch tieto vety a upravte Euklidove dôkazy tak, aby boli v súlade s modernou terminológiou.
- Euklidových Základoch je veta sformulovaná ako
Proposition 4 (Euclid's Elements, Book I ).
- Nech
sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany
rovné dvom stranám
. Konkrétne
rovná
a
rovná
a uhol
je rovný uhlu
.
- Hovorím (Euklides), že základňa
sa rovná aj základni
, trojuholník
sa rovná trojuholníku
a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol
sa rovná uhlu
a uhol
sa rovná uhlu
.
Nepriamy dôkaz
- Nech trojuholník
je uložený na trojuholníku
a ak je bod
umiestnený na bode
a priamka
na
.
- Priamka
sa tiež rovná
, pretože uhol
sa rovná uhlu
.
- Ale
sa tiež zhoduje s
, a preto základňa
sa zhoduje so základňou
a rovná sa jej.
- Takže celý trojuholník
sa zhoduje s celým trojuholníkom
a rovná sa.
- Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol
sa rovná uhlu
a uhol
sa rovná uhlu
.
-
Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni,
trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.
Ilustračný obrázok vety (sus).
- Nech
- V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).
- Nech trojuholník
je prenesený na trojuholník
tak, aby bod
bol umiestnený na bode
a priamka
na
.
- Potom bod
sa prekrýva (zhoduje) s bodom
, pretože
sa rovná
.
- Ukážeme, že aj úsečka
resp.
sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou
resp.
. Budeme dokazovať nepriamo.
- Keďže trojuholník
je rovnoramenný, tak uhol
rovná uhlu
.
- Z polohy bodu
vyplýva, že uhol
je väčší ako uhol
.
- Tiež trojuholník
je rovnoramenný, preto aj uhol
rovná uhlu
.
- Z polohy bodu
vyplýva, že uhol
väčší ako uhol
, čo je spor.
- Preto musí byť bod
totožný s bodom
.
- Podobne postupujeme v prípade, ak bod
bude v polrovine
.
- Ukázali sme, že strana
resp.
sa prekrýva so stranou
resp.
. To znamená, že uhol
sa rovná uhlu
.
- Teraz stačí použiť vetu
a dostávame tvrdenie: trojuholníky
a
sú zhodné.
- Nech trojuholník
Vety o zhodnosti trojuholníkov sa využívajú hlavne v úlohách, v ktorých sa skúmajú a dokazujú špecifické vlastnosti geometrických útvarov. Uvedieme niekoľko takých úloh.
Príklad 1. (Veta sus)
Je daný obdĺžnik
. Nech body
, sú bodmi uhlopriečky
, pre ktoré platí
.
Dokážte, že trojuholníky
sú zhodné.
Je daný obdĺžnik
![\small ABCD \small ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/68f54b5a7a595595869dbe366d5cc409.png)
![\small K,L \small K,L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87f2fd32573600072a431789d282d660.png)
![\small BD \small BD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fcafe8174b3b27727ff8786f4279cc8.png)
![\small SK = SL \small SK = SL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d792c28758a1d9b88f8484df4d921d7.png)
Dokážte, že trojuholníky
![\small ASK, CSL \small ASK, CSL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/363c0d4a7c0f1753a1e6adfa06c0ae4b.png)
Ľahko sa presvedčíme, že trojuholníky
sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi zovretom. Keďže
.
![\small ASK, CSL \small ASK, CSL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/363c0d4a7c0f1753a1e6adfa06c0ae4b.png)
-
bod
je stred uhlopriečky (uhlopriečky v obdĺžniku sa rozpoľujú)
- uhly
sú vrcholové, preto sú zhodné
- úsečky
sú podľa predpokladu zhodné
![\small BD \bigtriangleup ASK \simeq \bigtriangleup CSL \small BD \bigtriangleup ASK \simeq \bigtriangleup CSL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7aa53eb675f36f619f6daced4767c4c2.png)
Príklad 2. (Veta sss)
Narysujte ľubovoľný rovnoramenný trojuholník
so základňou
. Zostrojte stred
strany
. Čo platí pre trojuholníky
? Ukážte, že platí
.
V trojuholníkoch Narysujte ľubovoľný rovnoramenný trojuholník
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70dcdb2c7b6f8c1847050898533f39e8.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9746a9848728d4964db0c9892c6f0357.png)
![\small ASC, BSC \small ASC, BSC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49a95ecb033afa567541160964befd6e.png)
![\small \bigtriangleup ASC \simeq \bigtriangleup BSC \small \bigtriangleup ASC \simeq \bigtriangleup BSC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/407d1acfa9638dc880ac63802bd2cda8.png)
![\small ASC, BSC \small ASC, BSC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49a95ecb033afa567541160964befd6e.png)
Poznámky.
- Tháles: V rovnoramennom trojuholníku uhly pri základni sú zhodné.
- Euklides: Základy/Proposition 5 (Euclid's Elements, Book I. )
Príklad 3. (Veta Ssu)
Na osi
ostrého uhla
zostrojte vnútri uhla
bod
. Zostrojte kružnicu
tak, aby platilo
.
Označte priesečníky priamky
s kružnicou
ako
a priesečníky priamky
s kružnicou
ako
.
Dokážte, že úsečky
majú rovnakú veľkosť.
Na osi
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
![\small AVB \small AVB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c87f211cc35fb933ba4c4c46615aa718.png)
![\small AVB \small AVB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ddc7531fba9f690411a0d3cec387254b.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9675b5d61a63b01419a46d9a48e3c7b.png)
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/057847a3ccfac155db00ca47aa3a8edc.png)
![\small k=(S,r) \small k=(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57e6cca05c7cb60d7c6b20756d8cec0d.png)
![r > VS r > VS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8bb21cd06ff7a71e33ed0eb535bc621b.png)
Označte priesečníky priamky
![\small AV \small AV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/798a614128cf68e907fa86b8eb48e123.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small M,N \small M,N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/279c6f0ec707edc33c2fb77eb87d5033.png)
![\small BV \small BV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84171a3491faa038ae243cad88238f2e.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small P,Q \small P,Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2267c96fd45385816278b81afbbb8b41.png)
Dokážte, že úsečky
![\small MN, PQ \small MN, PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/11bee49e8d305f411764a8126aa88c5c.png)
Analýza úlohy.
-
Najskôr sa pokúste dokázať rovnosť
pomocou zhodnosti trojuholníkov:
.
Pre tieto trojuholníky platí:
-
Potom dokážte rovnosť
pomocou zhodnosti trojuholníkov:
.
Pre tieto trojuholníky platí:- strana
je spoločná obom trojuholníkom
-
(polomery kružnice
)
-
(súčet zhodných vrcholových uhlov a polovíc uhla
)
, preto aj tretie strany sú zhodné:
- strana
-
K ukončeniu dôkazu si stačí uvedomiť, že úsečky
a
získame sčítaním dvoch dvojíc zhodných úsečiek, platí
.
Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety
![\small Ssu \small Ssu](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d1a2468a50e13bf4282f7499c104723d.png)
![\small VQ ≅ VN \small VQ ≅ VN](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51d4add5dabc1fdfc2397047798d57c7.png)
Príklad 4.
...
...
...
obr
Otvorte
...
Otvorte