Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Euklidove Základy
Vety o trojuholníku
Medzi asi najznámejšie vlastnosti trojuholníka patria tvrdenia o veľkostiach jeho strán a vnútorných uhloch:
- súčet veľkostí ľubovoľných dvoch strán je väčšia ako veľkosť tretej strany - trojuholníková nerovnosť
- súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná priamemu uhlu - súčet uhlov sa rovná 180°.
Kniha 1 Tvrdenie XVI
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.
Kniha 1 Tvrdenie XVIII
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.
Kniha 1 Tvrdenie XIX
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .
Dôkaz
- otvorte si applet
Tu.
Nech
je trojuholník a nech
hovorím, že tiež strana
dlhšia je ako strana
.
Nech
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6699106966a513d44e14aa9dd89ada9.png)
![\small ∢ABC >∢BCA \small ∢ABC >∢BCA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f0d329eaac8a994db4a4295423b81343.png)
![\small AC \small AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d8242783998ef42edc7b67f874fa5c3b.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1585f0e5bde86698047af67d29a2002c.png)
-
Pretože ak nie, tak buď
alebo
je menšie ako
.
- Určite nie je (rovné)
s
, lebo rovným by bol tiež
s
avšak nie je. (Pozri Tvrdenie V.: Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú rovné.)
- Teda
nerovná sa
.
- Určite ani
je menšie ako
lebo aj
by bol menší ako
, avšak nie je .
- Teda nie je
je menšie ako
. Ukázalo sa, že však nie rovný. (Spor)
Kniha 1 Tvrdenie XX
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.
Dôkaz
Kniha 1 Tvrdenie XXIX (Striedavé uhly)
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly
,
navzájom rovnaké, vonkajší
uhol
sa rovná vnútornému opačnému (súhlasnému) uhlu
a súčet vnútorných uhlov
,
na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom.
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly
![\small AGH \small AGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e7859f342c7fbf18591e321a66268a6.png)
![\small GHD \small GHD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79d561455cb5a6ea60a380fa58631d0b.png)
![\small EGB \small EGB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c777ddd565487a624ff2b3c281d3517.png)
![\small GHD \small GHD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79d561455cb5a6ea60a380fa58631d0b.png)
![\small BGH \small BGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83f4207b93bda810a3bd7de8f30c0381.png)
![\small GHD \small GHD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79d561455cb5a6ea60a380fa58631d0b.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438212/mod_book/chapter/11012/Euklid_Kniha1_T29.png)
Kniha 1 Tvrdenie XXXII (Súčet uhlov trojuholníka) V každom trojuholníku, ak sa jedna zo strán predĺži, tak sa vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných protiľahlých uhlov a súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.