Celé čísla

Riešenie - 1. až 3. úloha

U1: Spočítajte a zdôvodnite:
  1. 2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)} =T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5
  2. 2 \oplus (-3)=T_{(2,0)} \oplus T_{(0,3)} =T_{(2+0,0+3)}=T_{(2,3)}=T_{(0,1)}=-1
U2: Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla
  1. a,b,c \in Z platí: (-a) + (-b) =-(a+b)
    • Z definície pre súčet tried dostaneme, že T_{(0,a)} \oplus T_{(0,b)}=T_{(0,a+b)} =-(a+b)
  2. a,b,c \in Z platí: (-a)\times (-b) =a \times b
    • Z definície pre súčin tried dostaneme, že T_{(0,a)} \times T_{(0,b)}=T_{(0.0+a.b,0.b+a.0)}=T_{(a.b,0)} =(a \times b)
U3: Dokážte, že pre dve triedy T_{(a,b)}, T_{(c,d)} rozkladu N×N∕R platí:
[T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \neq \oslash] \Rightarrow [T_{(a,b)}= T_{(c,d)}]
       Ak dve triedy majú spoločný aspoň jeden prvok, tak sa rovnajú!

Riešenie.
Z definície prieniku množín a vlastnosti tried rozkladu bude platiť:
         (m,n) \in T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \Leftrightarrow [(m,n) \in T_{(a,b)}] \wedge [(m,n) \in T_{(c,d)}] ,
odkiaľ dostaneme
         [a+m=n+b] \wedge [c+m=n+d] .
Odčítaním ľavých a pravých strán týchto rovností dostaneme rovnosť
         [a-c=b-d] , čo je ekvivalentné rovnosti [a+d=b+c] .
Posledná rovnosť hovorí, že T_{(a,b)} =T_{(c,d)} . Tým je dôkaz ukončený.
Poznámka
V dôkaze sme mohli postupovať aj iným spôsobom, ak by dokázali vlastnosť: [(m,n) \in T_{(a,b)}] \Leftrightarrow [T_{(m,n)}= T_{(a,b)}]
\( .\)