Celé čísla

Riešte.
  1. Spočítajte a zdôvodnite:
    • 2 \oplus 3, 2 \oplus (-3) 
    • 2 \otimes 3, 2 \otimes (-3). 
  2. Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla   a,b\in Z platí: 
    •   (-a) + (-b) =-(a+b)  
    • (-a)\times (-b) =a \times b
  3. Dokážte, že pre dve triedy T_{(a,b)}, T_{(c,d)} rozkladu N×N∕R platí :
            [T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \neq \oslash] \Rightarrow [T_{(a,b)}= T_{(c,d)}]
    Ak dve triedy majú spoločný aspoň jeden prvok, tak sa rovnajú!
  4. Ukážte, že množinu celých čísel možno rozdeliť do troch disjunktných skupín
           Z_{3k}={0,±3 ,±3,...,±3k,...}, Z_{3k+1}={±4 ,±7,...,±(3k+1),...} Z_{3k+2}={±5 ,±8,...,±(3k+2),...},
    kde k je prirodzené číslo.
  5. V množine celých čísel riešte rovnicu |3x-5|=2x+10 a nerovnicu |2x+1|≤|x-3| .[B]
  6. Graficky riešte nerovnicu x^2-8x+10≤0 .
  7. Dané sú dve celé čísla x,y . Súčet súčtu, rozdielu, súčinu a podielu týchto čísel je 150. Určte čísla x,y .
  8. Čísla a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti a posledné štyri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí a_2+a_3+a_4+a_5=4 a zároveň a_2.a_5=-8 .[B]
  9. Najvýhodnejší počet záclonových úchytiek môžeme vyjadriť postupnosťou: 3, 5, 9, ... Nájdite formulu, ktorá určuje n-tý člen takejto postupnosti. 
   [B] Bušek. I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Praha 1999.
\( .\)