Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Veta 8 - komutatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m+n=n+m$.

Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $\small n \in N$

1. Pre $\small n=1$ podľa vety 3 platí rovnosť: $\small m+1= 1+m$
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $\small m+n \overset{i.p.}{=} n+m$
   platí pre prirodzené číslo $\small n$. Ukážeme, že platí aj pre $\small n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $\small m+(n+1)= (n+1)+m$.
   Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
   $\small m+(n+1) \overset{def}{=} m+n' \overset{Axiom V }{=} (m+n)'$
   Využitím dôsledku 1 dostaneme pre pravú stranu $\small n'+m \overset{D1}{=} n+m' \overset{Axiom V }{=} (n+m)'=(m+n)'$
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 9 - komutatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small n\in N$ platí: $\small m \cdot n=n \cdot m$.

Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $\small n \in N$

1. Pre $\small n=1$ platí rovnosť: $\small m \cdot 1= 1 \cdot m$ - vlastnosť jednotky
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $\small m \cdot n \overset{ip}{=} n \cdot m$
   platí pre prirodzené číslo $\small n$. Ukážeme, že platí aj pre $\small n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $\small m \cdot (n+1)= (n+1) \cdot m$ resp. s rovnosťou
   $\small m \cdot n'= n' \cdot m$.
   Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
   $\small m\cdot n' \overset{Axiom VII }{=} m.n+m$ .
   Využitím dôsledku 2 dostaneme pre pravú stranu
   $\small n' \cdot m \overset{D2 }{=} n.m+m \overset{i.p.}{=} m.n+m$.
3. Tým je dôkaz ukončený.