Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla
Vlastnosti operácií
Dôkaz.
.
- Pre
musíme ukázať, že platí rovnosť:
.
Upravujme pravú stranu rovnosti,
čo je ľavá strana rovnosti. -
Predpokladajme (i.p.), že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
.
Musíme ukázať, že platí aj pre, čo je ekvivalentné s rovnosťou
. (1)
Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
- Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
.
- Tým je dôkaz ukončený.
![n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1 n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4beab30e7f823507e21cb4e872e9952.png)
![\overset{i.p.}{=} \overset{i.p.}{=}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/487df123ec8147bd46862d18ae903e1f.png)
Dôkaz
- Pre
musíme ukázať, že platí rovnosť:
.
Z axiómy VI vieme, že platí
- Predpokladajme (i.p.), že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
. Musíme ukázať, že platí aj pre
:
.
Upravujme pravú stranu rovnosti.
- Tým je dôkaz ukončený.
![0= 1 \cdot 0 0= 1 \cdot 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/003e24228fce198edd673ed140026383.png)
Jednotka je nasledovník nuly, teda platí
![0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0 0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/413b3b5ead4b29f0d5d06992fa56c17a.png)
![0=1 \cdot 0=0 \cdot 1 0=1 \cdot 0=0 \cdot 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d69b50a42b0c3976d3543021fb9bbd8.png)
Dôkaz.