Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Veta 1.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=0+n$.

Dôkaz.

1. Pre $\small n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $\small 1= 0+1$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $\small 0+1\overset{def.}{=} 0+0' \overset{Axiom V}{=}(0+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0' \overset{def.}{=} 1$,
   čo je ľavá strana rovnosti.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $\small n \overset{i.p.}{=} 0+n$ platí pre prirodzené číslo $\small n$.
   Musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $\small n+1= 0+(n+1)$.        (1)
Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
$\small n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1$.
3. Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
   $\small 0+(n+1) \overset{def.}{=} 0+(n+0') \overset{Axiom V}{=} 0+(n+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0+n' \overset{Axiom V}{=} (0+n)' \overset{i.p.}{=} n'=n+1$.
4. Tým je dôkaz ukončený.

Symbol v dôkazoch pre indukčný predpoklad: $\small \overset{i.p.}{=}$.

Veta 2.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small 0=0 \cdot n$.

Dôkaz

1. Pre $\small n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $\small 0= 0 \cdot n$. Z axiómy VI vieme, že platí
   $\small 0= 1 \cdot 0$.
   Jednotka je nasledovník nuly, teda platí $\small 0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0$. Teda násobenie nuly a jednotky je komutatívne
   $\small 0=1 \cdot 0=0 \cdot 1$.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $\small 0= 0 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $\small n$. Musíme ukázať, že platí aj pre $\small n+1$:
   $\small 0= 0 \cdot (n+1)$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $\small 0 \cdot (n+1) \overset{def.}{=} 0 \cdot (n+0') \overset{Axiom V}{=} 0 \cdot (n+0)' = 0 \cdot n'= 0 \cdot n + 0 \overset{i.p.}{=} 0+0=0$ .
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 3.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n+1=1+n$.

Dôkaz.

1. Vo vete 1 sme ukázali, že pre $\small n=1$ platí rovnosť: $\small 1= 0+1$
• z axiómy IV vieme, že platí $\small 1= 1+0$
• z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí $\small 1=1+0=0+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $\small n+1= 1+n$ platí pre prirodzené číslo $\small n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $\small n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $\small (n+1)+1= 1+(n+1)$
• pre pravú stranu platí $1+(n+1)=1+n'=(1+n)'=(n+1)'=(n+1)+1$, čo je ľavá strana rovnosti
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 4.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=n \cdot 1= 1 \cdot n$.

Dôkaz.

1. Musíme ukázať, že platí rovnosť: $\small 1= 1 \cdot 1$
• z axiómy VII vieme, že platí $\small 1 \cdot 1= 1 \cdot 0'=1 \cdot 0 +1=0+1=1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $\small n= n \cdot 1$ platí pre prirodzené číslo $\small n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $\small n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $\small n+1= (n+1) \cdot 1$
• pre pravú platí $\small (n+1) \cdot 1=(n+1) \cdot 0'=(n+1) \cdot 0 +(n+1)=n+1$
3. Predpokladajme, že rovnosť $\small n= 1 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $\small n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $\small n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $\small n+1= 1 \cdot (n+1)$
• zrejme platí $\small 1 \cdot (n+1)=1 \cdot n'=1 \cdot n +1=n+1$
4. Tým je dôkaz ukončený.