Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia (Matematická indukcia ako axióma VIII).

Axióma VIII

Ak $\small M$ je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu $\small (0 \in M )$ a zároveň pre každé prirodzené číslo $\small \forall n \in N$ platí:
[$\small n \in M \Rightarrow n' \in M$] potom $\small M=N$.

Poznámka.
Axiómu VIII môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.

Nech $\phi(n)$ je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná $n$ má definičný obor množinu prirodzených čísel $N$. Ďalej, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky

•      1. Pre $\small n=0$ výrok $\small \phi (0)$ je pravdivý.
•      2. Ak formula $\small [\forall n (\phi (n) \Rightarrow \phi (n'))]$ je tautológia.

Potom $\small \phi (n)$ platí pre všetky prirodzené čísla.

Cvičenie.
Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $\small n \geq1$ platí: $\small 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$.

Riešenie.

1. Nech $\small n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $\small 1^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $\small 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2$ platí pre $\small \forall k < n$.
3. Ukážeme, že platí aj pre $\small (k+1) \in N$:
• Počítajme $\small 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$.
4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť $\small 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$ platí pre všetky prirodzené čísla.