Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia (Súčin prirodzených čísel).
Ku každým dvom prirodzeným číslam $\small m, n$ existuje prirodzené číslo $\small m \cdot n$ nazývané súčin týchto čísel.

Súčin dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma VI

Nula $\small 0$ je agresívny prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Symbolicky $\small \forall m \in N: m \cdot 0=0$.

Axióma VII

Pre násobenie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\small \forall m,n \in N: m \cdot n'=m \cdot n + m$.

Poznámky.

1. Axióma VII je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje násobiť prirodzené čísla neobmedzene.
2. Podobne ako pri súčte, axiómy VI a VII definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla a nuly resp. nasledovníka.
3. V axióme VII je skrytý súčin $\small m \cdot (n+1)$ , ktorý v súlade s pravidlami v matematike (distributívnosť) chceme, aby sa rovnal súčtu $\small mn \cdot +m$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $\small 3 \cdot 2$.

Riešenie.

1. Zrejme pre prirodzené číslo $\small 2$ platí $\small 2=1'$.
2. Po dosadení $\small 1'$ za číslo $\small 2$ dostaneme $\small 3 \cdot 2=3 \cdot 1'$.
3. Aplikovaním axiómy VII dostaneme $\small 3 \cdot 2=3 \cdot 1'=(3 \cdot 1+3)$.


4. Opätovným dosadením $\small 0'$ za číslo $\small 1$, dostaneme $\small 3 \cdot 2=3 \cdot 1+3=3 \cdot 0'+3=(3 \cdot 0+3)+3=3 + 3=6$.