Polohové stereometrické úlohy - priečky

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Polohové stereometrické úlohy - priečky

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 4 júna 2026, 12:40

Opis

PSU

Obsah

Základné typy úloh
Prienik priamky s telesom
Priečka dvoch mimobežiek
Cvičenie

Základné typy úloh

Ďalšie polohové konštrukčné úlohy sú:

priesečník priamky s rovinou
prienik priamky s telesom
priečka, resp. os, dvoch mimobežiek

Priesečník priamky $p$ (rôznobežnej) s rovinou $\alpha$ sa konštrukčne rieši týmto spôsobom
1. priamkou

$p$ preložíme pomocnú rovinu

$\beta$ , ktorá je s rovinou

$\alpha$ rôznobežná
2. určíme priesečnicu

$r$ rovín

$\alpha, \beta$
3. priesečník

$P$ priamok

$p, r$ je hľadaným bodom

Komentár k riešeniu

Priamku

$BH$ umiestnime do vhodnej pomocnej roviny

$\beta$ , ktorú ľahko vieme zostrojiť (napr. rovnobežnú s hranou kocky).

V tomto príklade je to rovina

$\beta=BDHF$ . Rovina

$\beta$ sa nazýva premietajúca.

Priesečnica rovín

$\beta ∩ \alpha$ je určená bodmi

$K, R$ , pričom priamka

$AR$ je rovnobežná s priamkou

$KL$

Priesečnica

$RK$ leží v tej istej rovine ako priamka

$BH$ , preto existuje ich spoločný priesečník

$P$ .

Učiteľ zdôrazňuje:

Rezom premietajúcej roviny s hranolom musí byť rovnobežník. →

Pri ihlane volíme "vrcholovú rovinu", rovinu určenú priamkou a vrcholom ihlana. Rezom vrcholovej roviny je najčastejšie trojuholník.

$$ .$ $

Prienik priamky s telesom

Prienik priamky $p$ s telesom $T$ zostrojíme podobne, ako prienik priamky s rovinou.
1. Danou priamkou

$p$ preložíme vhodnú pomocnú rovinu

$\sigma$ .
2. Urobíme rez telesa

$T$ touto rovinou.
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou

$p$ je hľadaný prienik priamky s telesom.

Do kocky

$ABCDEFGH$ je vložený štvorboký ihlan

$ABCDV$ , kde bod

$V$ je stred hornej podstavy. Na polpriamke

$DA$ za bodom

$A$ leží bod

$K$ ; na polpriamke

$FG$ za bodom

$G$ leží bod

$M$ . Zostrojte prienik (úsečku

$PQ$ ) priamky

$KM$ s ihlanom

$ABCDV$ . Určte jej skutočnú dĺžku, ak

$|AB| =1$ .

Komentár k riešeniu

Priamku

$KM$ umiestnime do pomocnej roviny

$\sigma=VKM$ . Rovinu určíme priamkou

$VM$ a rovnobežkou

$r$ , pričom platí:

$r∥VM, K∈r$ .

Rezom ihlana

$ABCDV$ rovinou

$VKM$ je trojuholník

$UWV$ , kde

${U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC$ .

Prienik priamky

$KL$ so stranami

$UV, VW$ sú hľadané priesečníky

$P, Q$ .

Ku konštrukcii skutočnej dĺžky

$PQ$ musíme zostrojiť najskôr štvorec

$ABCD$ a potom prenášať úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod

$W$ je bodom úsečky

$BC$ .

Učiteľ

Musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod

$K$ je vzdialený od bodu

$A$ o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod

$M$ . V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka

$r$ prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.

Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.

$$ .$ $

Priečka dvoch mimobežiek

Priečka dvoch mimobežiek $p, q$ je priamka, ktorá pretína obe dané priamky

$p, q$ . Priečka je aj úsečka s krajnými bodmi ležiacimi na priamkach

$p, q$ .
Dve mimobežky majú nekonečne veľa priečok. Existuje jedna priečka, ktorá je súčasne kolmá na obe priamky

$p, q$ . Hovoríme jej os mimobežiek.

Rozlišujeme tieto základné kategórie úloh

zostrojiť priečku dvoch mimobežiek $p, q$ prechádzajúcu daným bodom $P$
zostrojiť priečku dvoch mimobežiek $p, q$ rovnobežnú s danou priamkou $r$
zostrojiť os dvoch mimobežiek $p, q$ .

Prvé dve kategórie sú polohové stereometrické úlohy a tretia kategória predstavuje metrické stereometrické úlohy.

Medzi metrické úlohy zaraďujeme

Odchýlka dvoch priamok, dvoch rovín resp. priamky a roviny
Kolmosť priamok a rovín
Objemy a povrchy telies

$$ .$ $

Priečka idúca bodom

Úloha prvého typu
Zostrojte priečku mimobežiek

$AB, EC$ prechádzajúcu bodom

$P$ .

Polohu bodu

$P$ spresňuje jeho kolmý priemet

$P_0$ do dolnej podstavy kocky

$ABCDEFGH$ .

Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že daným bodom

$P$ a priamkou

$q$ položíme rovinu, ktorá pretne druhú danú priamku

$p$ v bode, ktorý je bodom hľadanej priečky.
V tejto úlohe sme daným bodom

$P$ položili rovinu

$α = (P, q)=(CKE)$ .

Priesečník $L$ roviny $α$ je bodom priečky mimobežiek.
Postup riešenia aktivujte pomocou navigačného panelu.

$$ .$ $

Priečka rovnobežná so smerom

Úloha druhého typu
Zostrojte priečku

$MN$ priamok

$AF, BG$ rovnobežnú so smerom

$v=EC$ .

Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu prechádzajúcu jednou z daných mimobežiek, ktorá bude rovnobežná so smerom

$v$ .
V tejto úlohe sme zostrojili pomocnú rovinu

$α = (A,F,1)$ , kde

$F1∥EC$

Pomocná rovina pretne druhú danú mimobežku $BG$ v bode $M$ hľadanej priečky.
Úsečka $MN$ rovnobežná so smerom $EC$ je priečka mimobežiek.
Nie vždy existuje priečka dvoch mimobežiek rovnobežná s daným smerom.

$$ .$ $

Os mimobežiek

Úloha tretieho typu
Daný je kváder

$ABCDEFGH$ , bod

$Q$ je stred hrany

$EF$ . Zostrojte os mimobežiek

$AB, CQ$

Komentár k appletu
Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu

$EFC$ , ktorá bude rovnobežná s mimobežkou

$AB$ .

Na rovinu $EFC$ zostrojíme kolmicu $B1$ idúcu bodom $B$ .
Roviny $EFC, AB1$ majú spoločnú priamku $12$ , na ktorej leží jeden z bodov osi mimobežiek.
Priečka $34$ je rovnobežná s $B1$ , ktorá je zrejme kolmá na obidve mimobežky.

$$ .$ $

Cvičenie

Priesečník priamky s rovinou

Daná je kocka $A-H$ . Zostrojte priesečník priamky $p = DF$ s rovinou $\rho = BEG$ . →
Daný je trojboký hranol $ABCA'B'C'$ , rovina $\alpha = MNP (M, N, P$ sú v danom poradí vnútorné body hrán $AA', BB', CC')$ a bod $L$ , ktorý je vnútorným bodom trojuholníka $A'B'C'$ .
Zostrojte priesečník priamky $CL$ s rovinou $\alpha$ . Zvoľte si $(AA'M) ≠ (BB'N) ≠ (CC'P) ≠ (AA'M)$ . →
Je daná kocka $A-H$ , rozhodnite o vzájomnej polohe roviny a priamky, v prípade rôznobežnosti nájdite priesečník.

Prienik priamky s telesom

Zostrojte priesečníky priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom $ABCDEA'B'C'D'E'$ , ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy.
$[a = MN, (SMC)=-1, S$ je stred dolnej podstavy, $(E'NF') = -1]$ . →
Zbierka úloh zo stereometrie → str. 3, úloha 35
Písomka. Je daná kocka $ABCDEFGH$ . Zostrojte priesečníky priamky $PQ$ s kockou. Bod $P$ leží na $AB$ za bodom $B$ . Bod $Q$ leží na $GH$ za bodom $H$ . Zadanie →

Priečka dvoch mimobežiek

Daný je rovnobežnosten $ABCDA'B'C'D'$ . Zostrojte:

priečku priamok $BD, B'C'$ prechádzajúcu bodom $A$ →
priečku priamok $AB , B'D'$ rovnobežnú s priamkou $AC'$ →

Písomka. Je daná kocka $ABCDEFGH$ . Zostrojte priečku mimobežiek $AE, BG$ rovnobežnú so smerom $SM$ , kde $S$ je stred kocky a $M$ leží na $AB$ za bodom $B$ . Zadanie →
Nech $K$ je stred hrany $GH$ a bod $L$ stred hrany $BF$ kocky $ABCDEFGH$ . Zostrojte os mimobežiek $EK, LC$ . Zadanie. .
Nech $K \in EF;L \in GH;P \in BF;Q \in CG$ sú body na hranách kocky $ABCDEFGH$ . Zostrojte os mimobežiek $KL, PQ$ . Zadanie.

Metrické úlohy

V kocke $ABCDEFGH$ je bod $K$ stredom hrany $DH$ . Bodom $A$ zostrojte rovinu kolmú na priamku $FK$ a určte vzdialenosť bodu $A$ od priamky $A-H$ FK.
Je daná kocka $A-H$ s hranou $a = 4cm$ . Vypočítajte vzdialenosti:

dvoch bodov $v(A, S_{GH})$ $v(S_{AF}, S_{BG} )$
bodu a priamky $v(H ↔AS_{CG} )$ $v(A ↔FH )$
bodu a roviny $v(E ↔S_{EH} S_{EF} S_{AB} )$ .

Zdroj Polák, J.: Didaktika matematiky. Str. 327. \S_{XY} \) značí stred úsečky \XY\).

$$ .$ $