GeoGebra vo vyučovaní geometrie

Dynamický matematický program GeoGebra, ktorý spája geometriu, algebru a kalkulátor do jedného celku.

Názov GeoGebra vznikol spojením Geometria – Algebra, z čoho vyplýva aj charakter tohto softvéru.
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov ale aj na algebraické výpočty. Program si stiahnite zo stránky https://www.geogebra.org/download ¹⁾.

Na prebudenie záujmu žiakov o program GeoGebra odporúčame učiteľovi najskôr predviesť žiakom ukážky (applety), v ktorých sa významne prejaví dynamika programu. Napríklad pre žiakov ZŠ vlastnosť ortocentra (priesečníka výšok) v obecnom trojuholníku a pre žiakov SŠ rez na kocke. Pozrite si odkaz na takéto applety:

• Ortocentrum Tu
• Rez na kocke Tu

Ak chceme využívať softvér GeoGebra vo vyučovaní matematiky, tak prvým krokom učiteľa je naučiť žiakov postupnými krokmi pracovať s týmto softvérom. To predstavuje predovšetkým:

1. Začať s rysovaním základných geometrických útvarov len s použitím troch nástrojov Bod, Priamka a Kružnica.
2. Zdôrazniť význam a používanie nástroja Pohyb - po jeho aktivácii kurzor presunieme k objektu, potom stlačíme ľavé tlačidlo myši a objekt môžeme premiestňovať
3. Vedieť meniť farbu, veľkosť, hrúbku, priehľadnosť a štýly zostrojených útvarov - buď aktivujeme nástroj Pohyb, kurzor presunieme k útvaru, stlačíme pravé tlačidlo myši a vyberieme Vlastnosti alebo vo formátovacom paneli v hornej lište nákresne
   
   nastavíme požadované parametre.
4. Postupne žiakov oboznamujeme s ďalšími nástrojmi, pomocou ktorých narysujme - stred úsečky, kolmicu, mnohouholník, uhol, ...

Pri prvých pokusoch práce s programom GeoGebra je z didaktického hľadiska vhodné začať pracovať v prednastavenom výkrese, v ktorom budú k dispozícii len základné nástroje: bod + priesečník; priamka + úsečka; kružnica určená stredom a polomerom + kružnica určená stredom a jej bodom.

Precvičte si
Otvorte si prednastavený výkres Tu a

1. nakreslite voľnou rukou pomocou nástrojaniektoré geometrické útvary: trojuholník (rovnostranný), štvoruholník (obdĺžnik), ovál, ...
2. nastavte hrúbku obvodu a farbu výplne týchto útvarov
3. narysujte postupne tri body, ktoré premenujte na $\small A,B,C$; úsečky $\small c=AB,b= ...$; priamky; kružnice  ...
4. nastavte rôzne farby, štýly, ...

Poznámky

1. Po otvorení prednastaveného výkresu sa objaví čistý výkres, v ktorom sú zobrazené
   • v záhlaví karty pre prácu so súborom - základné Menu
   • nástroje/ikonky pre narysovanie geometrických útvarov bod, priamka, kružnica.
2. Bod je znázornený ako "krúžok" ale môže byť znázornený pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly $\times,+, \diamond$.
3. V prípade, že chcete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok) stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť.
   

___________________________________________________________
1) Pozrite si stránku "Návody k aplikaci GeoGebra Classic" resp. Manuál
2) Robová, J.: Informační technologie pro učitele, 2019/2020. Dostupné Tu

Príklad
Zostrojte trojuholník $\small \triangle ABC$, ak sú dané dĺžky jeho strán $\small a=BC, b=AC, c=AB$ (pomocou posuvníkov).

V priloženom applete si najskôr vyskúšajte meniť veľkosti strán $\small a, b, c$ (hodnoty posuvníkov).
Za akých podmienok priesečník $\small C$ existuje?

Komentár k riešeniu

1. Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu a vytvorte si vlastný výkres.
2. Postupujte podľa nasledujúcich krokov:
• zostrojte bod $\small A$ pomocou nástroja "Bod";
• zostrojte úsečku $\small A,B$ s danou dĺžkou $\small c=AB$ pomocou nástroja "Úsečka s danou dĺžkou";
• zostrojte kružnice $\small k_1=(A, b), k_2=(B,a)$ a ich priesečník $\small C$.
Zmeňte hodnoty posuvníkov a pozorujte zmeny.

Základným didaktickým poslaním programu GeoGebra vo vyučovaní geometrie pri rysovaní rovinných útvarov je

• zjednodušenie manipulačnej činnosti
• dosiahnutie vyššej presnosti
• umožnenie dynamickosti a interaktívnosti narysovaných útvarov

Pri rysovaní útvarov najčastejšie používame tri pomôcky:

1. ceruzku resp. špeciálne rysovacie pero
2. pravítko
3. kružidlo

Euklidovská konštrukcia sa nazýva grafická konštrukcia v rovine, ktorú je možné realizovať

1. ideálnym pravítkom (bez rysky a bez meradla) a ideálnym kružidlom
2. konečným počtom krokov
3. každý krok je elementárna konštrukcia buď na zostrojenie
1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi; alebo
2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom; alebo
3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).

Elementárne euklidovské konštrukcie

1. Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Euklidovo tvrdenie, Kniha 1,T/I.
2. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/II a T/III.
3. Zostrojenie osi daného uhla. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/IX.
4. Zostrojenie stredu danej úsečky, osi úsečky. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/X.
5. Zostrojenie kolmice na danú priamku. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/XI a T/XII.
6. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.
Tieto úlohy budeme postupne riešiť pomocou programu GeoGebra.

Euklidove Základy: Kniha 1, Tvrdenie II
"Umiestniť priamku (úsečku) rovnajúcu sa danej priamke (úsečke) $\small BC$ s jedným koncom v danom bode $\small A$."

Otvorte si prednastavený výkres Tu a postupujte podľa nižšie uvedených pokynov

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABD$. Tvrdenie 1/I
2. Vytvorte polpriamky $\small \overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}$. Postulát 2
3. Opíšte kružnicu $\small k_1=(B;r=\left| BC \right| )$ a zostrojte priesečník $\small E=\overrightarrow{DB} \cap k_1$. Postulát 3
4. Opíšte kružnicu $\small k_2=(D;r=\left| DE \right|)$ a zostrojte priesečník $\small F=\overrightarrow{DA} \cap k_2$. Postulát 3
5. Keďže bod $\small B$ je stredom $\small k_1=(B;r=\left| BC \right| )$, preto sa $\small BC$ rovná $\small BE$. Definícia 15
6. Keďže bod $\small D$ je stredom $\small k_2=(D;r=\left| DE \right|)$, preto sa $\small DE$ rovná $\small DF$. Definícia 15
7. Preto sa rozdiel $\small \left| BE \right|$ rovná rozdielu $\small \left| AF \right|$. Zásada 3

Poznámky .

1. Pri takejto konštrukcii "neprenášame" kružidlo; zostrojujeme len kružnicu so stredom a polomerom.
2. Euklides Kniha 1 Tvrdenie III: Preniesť úsečku $\small c=KL$ na danú polpriamku $\small \overrightarrow{AB}$ znamenaná najskôr ju umiestniť s jedným koncom v bode $\small A$ a druhým koncom v bode $\small D$.

Os úsečky
Pri zostrojovaní osi úsečky budeme vychádzať z konštrukcie osi uhla, ktorá v Euklidových Základoch predstavuje Tvrdenie IX v Knihe 1.
V konštrukcii osi uhla sa využívajú tri kružnice určené stredom a polomerom (Postulát 3) a veta o zhodnosti trojuholníkov $sss$, ktorá je Základoch uvedená ako Tvrdenie VIII. Vytvorte applet v programe GeoGebra, ktorý bude interpretovať toto tvrdenie.
Os úsečky zostrojíme ako dôsledok konštrukcie osi uhla:

1. Príklad¹⁾ (ťažisko, vzťah medzi dvoma objektmi)
   • Zostrojte všeobecný trojuholník $\small ABC$.
   • Zostrojte ťažnice (využite nástroj "Stred").
   • Nástrojom "Priesečníky" zostrojte priesečník $\small T$ (ťažisko) dvoch ťažníc.
   • Nástrojom "Vzťah" testujte, či bod $\small T$ leží na zostávajúcej ťažnici.
2. Príklad (osi uhlov, kružnica vpísaná, popis objektu gréckymi písmenami)
   • Zostrojte všeobecný trojuholník $\small ABC$.
   • Zostrojte osi uhlov pomocou nástroja "Os uhla". Všimnite si dve možnosti zadania objektov pre tento nástroj – dve priamky, tri body.
   • Osi zobrazte čiarkovane pomocou karty "Vlastnosti".
   • Zostrojte priesečník $\small S$ dvoch osí.
   • Vyznačte úsečkou polomer kružnice vpísanej a zostrojte ju. Pohybom jedného vrcholu overte správnosť konštrukcie.
   • Pomocou kontextového menu (príkaz Premenovať) pre úsečku-polomer kružnice ju premenujte na $\rho$ (grécke písmená sú v zobrazenej karte vpravo).
Poznámky.
1. Pre príklady 1 a 2 použite prednastavený výkres Tu.
2. Konštrukcia trojuholníka je možná:
   • s využitím bodov a úsečiek (tri nekolineárne body spojené úsečkami) alebo
   • pomocou nástroja Mnohouholník, resp. Pravidelný mnohouholník.
3. Príklad (os úsečky ako geometrické miesto bodov), otvorte si Zadanie Tu.
   • Narysujte úsečku $\small AB$ a posuvník $r$, ktorého rozsah hodnôt bude od 0 do 15.
   • Teraz zostrojte nástrojom "Kružnica daná stredom a polomerom" kružnice so stredmi v $\small A,B$ a rovnakými polomermi $r$.
   • Zostrojte priesečníky $\small X,Y$ oboch kružníc a zapnite ich stopu.
   • Pohybujte posuvníkom $r$ a pozorujte, čo sa deje.
   • Akú množinu bodov tvoria stopy bodov $\small X,Y$?
       Príklad - pokračovanie
   • Pokračujte v predchádzajúcom ryse.
   • Teraz aktivujte nástroj "Množina bodov" (najskôr ukážte na priesečník $\small X$, potom na posuvník $r$).
   • Čo sa deje?
   • To isté urobíme s druhým priesečníkom $\small Y$.

Zdokonaľujte sa v práci s GeoGebrou
Zostrojte rovnoramenný lichobežník $ABCD$, ak poznáte dĺžky základní $a, c$  a veľkosť vnútorného uhla $\alpha$. [Pozri →] Popis konštrukcie:

1. $AB; |AB| = a$
2. $S;$ - stred $AB$
3. $P; P \in \vec{SA} , |SP| = c/2$
4. $p; P \in p, p \perp AB$
5. $\vec{AX}; |\angle BAX| = \alpha$
6. $D; D \in p \cap \vec{AX}$
7. $q; D \in q, q \parallel AB$
8. $C; C \in q, |DC| = c, |DS| = |CS|$
9. štvoruholník $ABCD$ .
Otvorte si zadanie Tu

Kolmica na priamku
Je daný bod $A$ a priamka $p=KL$. Použitím len pravítka (bez rysky) a kružidla zostrojte kolmicu prechádzajúcu daným bodom $A$ na danú priamku $p=KL$, ak:

1. bod $A$ leží na priamke $p=KL$
2. bod $A$ neleží na priamke $p=KL$ .
Vychádzajte z Euklidovho tvrdenia Kniha 1,T/XI a T/XII. Použite prednastavený výkres Tu.

Geometrické miesta bodov.

1. Vytvorte rys na demonštráciu osi uhla pomocou množiny bodov.
2. Padajúci rebrík - rebrík opretý o stenu, ak stojí na hladkej podlahe sa veľmi ľahko skĺzne dole a spadne.
   
   Po akej krivke sa pri tomto páde bude pohybovať mačka sediaca uprostred rebríka a akú trajektóriu vytvorí, ak nebude v strede.        ..

Úloha
Pomocou Geogebry určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou $\small AB$.
Dynamický bod.
Preštudujte si výklad k začiarkavaciemu políčku Tu.

..

Úloha
Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií tangens, kotangens. Zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií.

___________________________________________________________________________
Euklidove Základy - česká verzia Tu; Elektronická - verzia (angl.) Tu