Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Zhodné a podobné zobrazenia - cvičenia

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Planimetria a stereometria
Kniha: Zhodné a podobné zobrazenia - cvičenia
Vytlačil(a): Visiteur anonyme
Dátum: piatok, 5 júna 2026, 08:15

Obsah

Cvičenie

Cvičenie  - osová súmernosť
Je daná priamka p a body A, B ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou p . Určte bod X ∈ p tak, aby súčet AX+ BX bol čo najmenší.
Riešenie Tu
Cvičenie - stredová súmernosť.
Sú dané dve sústredné kružnice k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2 . A bod S vo vnútri k_2 . Zostrojte obdĺžnik ABCD tak, že  A,B \in k_1 ; C,D \in k_2 a bod S je jeho stredom. Riešenie Tu.
Cvičenie - posunutie
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán a, b a veľkosť \phi uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Riešenie Tu.

Cvičenie - posunutá súmernosť
Daný je pravidelný 6-uholník ABCDEF a body X, Y , pričom (ABX) = (DEY ) = 2 . Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník AXS do trojuholníka Y DF . Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?
Riešenie
  Otvorte si applet Tu.
Cvičenie - rovnoľahlosť
Sú dané dva rôzne body A,M , ktorých vzdialenosť je d . Ďalej je dané kladné číslo v . Zostrojte kosoštvorec ABCD s výškou v tak ,aby bod M bol stredom jeho strany BC .
(rozbor)
Riešenie. Križalkovič, K.: 500 riešených úloh z geometrie. Prík. 103.
\( .\)

Seminárne zadania B

Riešte nasledujúce úlohy
    Osová súmernosť
  1. Dané sú dva rôzne body \small A,B neležiace na danej priamke p . Zostrojte bod \small X na priamke p , taký, aby priamky \small \overleftrightarrow{AX},\overleftrightarrow{BX} zvierali s priamkou p ostré uhly, z ktorých jeden je dvakrát väčší ako druhý. Otvorte si zadanie Tu .
  2. Zostrojte trojuholník \small ABC , ak poznáte a + b, v_a, c . Rozbor Tu .
  3. Zostrojte kosoštvorec \small ABCD , ak je dané \small e=AC, v_{AB} . Rozbor Tu .
    4. Stredová súmernosť; otáčanie
  4. Sú dané dve sústredné kružnice \small k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2 a bod \small S vo vnútri k_2 . Zostrojte obdĺžnik \small ABCD tak, že \small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2 a bod \small S je jeho stredom. Otvorte si zadanie Tu .
  5. ♠ Zostrojte trojuholník \small ABC , ak poznáte t_a, t_b, γ. Rozbor Tu .
  6. Je daný bod \small S ležiaci vo vnútri ostrého uhla \small KVM . Zostrojte štvorec \small ABCD taký, že \small S je jeho stredom, bod \small A leží na polopriamke \small VK a bod \small C na polpriamke \small VM . [Davidova, str. 25]
  7. Do daného rovnobežníka vpíšte štvorec tak, aby jeho vrcholy ležali každý na inej strane rovnobežníka. Rozbor Tu .
  8. Určte (konštrukčne) dĺžku strany rovnostranného trojuholníka \small ABC , ktorého vrcholy majú od nejakého pevne zvoleného vnútorného bodu \small \triangle ABC vzdialenosti 5, 7, 8. [Larson, Príklad 8.1.16. Dostupné Tu ].
    ♥ Určte (výpočtom) dĺžku strany. Existuje riešenie (všetky tri vzdialenosti a zároveň veľkosť strany trojuholníka) v obore prirodzených čísel?
  9. Pomocou nástroja "Množina bodov" určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou \small AB .
    ♥ Dané sú body \small A, A', A \neq B . Otáčanie, ktoré zobrazí bod \small A do bodu \small A' , zobrazí bod \small B do určitého bodu \small B' . Čo vyplnia body \small B' , ktoré dostaneme všetkými takýmito otáčaniami?
    10. Posunutie
  10. Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán a, b a veľkosť \phi uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Otvorte si zadanie Tu.
  11. ♠ Zostrojte lichobežník \small ABCD: \;AB \parallel CD , v ktorom sú dané veľkosti jeho strán pomocou posuvníkov. [Davidova, str. ...]
  12. Sú dané dve rôznobežné priamky a, b a úsečka \small CD . Zostrojte rovnobežník \small ABCD tak, aby: \small A∈a,B∈b. Rozbor Tu.
  13. Na ktorom mieste je potrebné zostrojiť most cez rieku, ktorá oddeľuje dve obce \small A,B tak, aby cesta z obce \small A do obce \small B bola čo najkratšia. Brehy rieky sa predpokladajú navzájom rovnobežné a most má byť postavený kolmo na brehy rieky. Rozbor Tu .
    14. Rovnoľahlosť
  14. Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom \small K a dotýka sa polpriamok p, q . Otvorte si zadanie Tu .
  15. Zostrojte trojuholník \small ABC, ak je dané:
    1. \small a : b = 4 : 5, γ = π/3, v_c ; RozborTu.
    2. ♠ \small a + b, β = 45°, γ = 75° , využite rovnoľahlosť so stredom \small C.
  16. Zostrojme priamku a , ktorá prechádza daným bodom \small A a neprístupným priesečníkom priamok p, q .
    Rozbor: Neprístupný priesečník priamok p, q je stred rovnoľahlosti. Applet Tu.
  17. Je daná kružnica \small k = k(S, r) a bod \small A, ktorý leží zvonku kružnice. Zostrojte sečnicu kružnice k tak, aby obsahovala bod \small A, pretínala k v bodoch \small X, Y a aby platilo \small |AX| = 3|AY | .[1, rovnoľahlosť, pr. 1] Applet Tu .
  18. Sú dané dve rôznobežky a,b , ktoré sa pretínajú v bode P a bod A; A \in a, A \neq P . Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamky a v bode A a zároveň sa dotýkajú priamky b . Riešte úlohu aj pre prípad A \notin a, A \notin b .
    19. Vety o zhodnosti trojuholníkov
  19. Dokážte, že v rovnobežníku
    1. protiľahlé strany sú zhodné a rovnobežné,
    2. protiľahlé vnútorné uhly sú zhodné,
    3. uhlopriečka delí rovnobežník na dva zhodné trojuholníky.
  20. Bod S je stredom základne AB rovnoramenného trojuholníka ABC . Bodom S sú vedené kolmice k ramenám AC a BC . Päty týchto kolmíc označíme K, L . Dokážte, že trojuholník ASK je zhodný s trojuholníkom BSL .
  21. Je daný trojuholník ABC  a priamka p , na ktorej leží ťažnica t_c trojuholníka. Dokážte, že body A, B majú od priamky p rovnakú vzdialenosť.
  22. ♥ Daná je úsečka AA_0 a priamka p . Zostrojte trojuholník ABC s vrcholom A a výškou AA_0 , ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke p . [4]
  23. ♥ Zostrojte trojuholník ABC , ak sú dané: ťažnica t_a , výška v_a , uhol ∢BAC .  
\( .\)

Zbierky

Zbierky úloh
[1] Chalmovianska, J.: Zbierka úloh - osová súmernosť, stredová súmernosť, otáčanie, posunutie, rovnoľahlosť
[2] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu.
[3] Riešené príklady Tu.
[4] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Dostupné Tu.
[5] Davidová, E.: Řešení planimetrických úloh - konštrukční a početní úlohy. Dostupné Tu.
\( .\)