Zhodné a podobné zobrazenia - cvičenia
Website: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurs: | Planimetria a stereometria N |
Buch: | Zhodné a podobné zobrazenia - cvičenia |
Gedruckt von: | Hosťovský používateľ |
Datum: | Mittwoch, 3. Juli 2024, 10:29 |
Cvičenie
Cvičenie - osová súmernosť
Je daná priamka
a body
ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou
. Určte bod
tak, aby súčet
bol čo najmenší.
Riešenie Tu
Je daná priamka
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![X ∈ p X ∈ p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/41851e1b4c0a928d63bc05431f70d617.png)
![AX+ BX AX+ BX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/45215b09a28a20673e23ca8c371f19e7.png)
Riešenie Tu
Cvičenie - stredová súmernosť.
Sú dané dve sústredné kružnice
. A bod
vo vnútri
. Zostrojte obdĺžnik
tak, že
a bod
je jeho stredom. Riešenie Tu.
Sú dané dve sústredné kružnice
![k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2 k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6bc15fd66eedc35c3f7b033217eaaf92.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![k_2 k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ef5bb89b4556a7874584a31506a449d.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
![A,B \in k_1 ; C,D \in k_2 A,B \in k_1 ; C,D \in k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d304a1d04ca0c21860febf3d2ac72ba5.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
Cvičenie - posunutie
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán
a veľkosť
uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Riešenie Tu.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaf58289bce922a4d59c977855eec7ef.png)
Cvičenie - posunutá súmernosť
Daný je pravidelný 6-uholník
a body
, pričom
. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník
do trojuholníka
.
Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?
Riešenie
Otvorte si applet Tu.
Daný je pravidelný 6-uholník
![ABCDEF ABCDEF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2cc1e66318d738b7f85d162b5ea4ceec.png)
![X, Y X, Y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16188f726f28025fa7a870c388ed4291.png)
![(ABX) = (DEY ) = 2 (ABX) = (DEY ) = 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0784e5ee221ab98ffa4665758e34ed62.png)
![AXS AXS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e9685de5e51fee5b8092465f1f24172.png)
![Y DF Y DF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ef2b4dd82f84b7cc9ffe94112a00ced.png)
Riešenie
Cvičenie - rovnoľahlosť
Sú dané dva rôzne body
, ktorých vzdialenosť je
. Ďalej je dané kladné číslo
. Zostrojte kosoštvorec
s výškou
tak ,aby bod
bol stredom jeho strany
.
(rozbor)
Riešenie. Križalkovič, K.: 500 riešených úloh z geometrie. Prík. 103.
Sú dané dva rôzne body
![A,M A,M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1b5ce14ba49055b12b1bad27a1bcf32.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/318522954fc860fb30f295ce3674ccdd.png)
![v v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4f4b9b0ab0a2eb771bf7decb3a53c8d.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1ea6a815485d05f1c11d65a89209fae.png)
![v v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4f4b9b0ab0a2eb771bf7decb3a53c8d.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![BC BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/886a2f4b696ad3881ed755fd2f5ea71b.png)
Riešenie. Križalkovič, K.: 500 riešených úloh z geometrie. Prík. 103.
Seminárne zadania
Riešte nasledujúce úlohy
-
Osová súmernosť
- Dané sú dva rôzne body
neležiace na danej priamke
. Zostrojte bod
na priamke
, taký, aby priamky
zvierali s priamkou
ostré uhly, z ktorých jeden je dvakrát väčší ako druhý. Otvorte si zadanie Tu.
- Zostrojte trojuholník
, ak poznáte
. Rozbor Tu.
- Zostrojte kosoštvorec
, ak je dané
. Rozbor Tu.
Stredová súmernosť; otáčanie
- Sú dané dve sústredné kružnice
a bod
vo vnútri
. Zostrojte obdĺžnik
tak, že
a bod
je jeho stredom. Otvorte si zadanie Tu.
- ♠ Zostrojte trojuholník
, ak poznáte
. Rozbor Tu.
- Je daný bod
ležiaci vo vnútri ostrého uhla
. Zostrojte štvorec
taký, že
je jeho stredom, bod
leží na polopriamke
a bod
na polpriamke
. [Davidova, str. 25]
- Do daného rovnobežníka vpíšte štvorec tak, aby jeho vrcholy ležali každý na inej strane rovnobežníka. Rozbor Tu.
- Určte (konštrukčne) dĺžku strany rovnostranného trojuholníka
, ktorého vrcholy majú od nejakého pevne zvoleného vnútorného bodu
vzdialenosti 5, 7, 8. [Larson, Príklad 8.1.16. Dostupné Tu].
♥ Určte (výpočtom) dĺžku strany. Existuje riešenie (všetky tri vzdialenosti a zároveň veľkosť strany trojuholníka) v obore prirodzených čísel? - Pomocou nástroja "Množina bodov" určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou
.
♥ Dané sú body. Otáčanie, ktoré zobrazí bod
do bodu
, zobrazí bod
do určitého bodu
. Čo vyplnia body
, ktoré dostaneme všetkými takýmito otáčaniami?
Posunutie
- Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán
a veľkosť
uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Otvorte si zadanie Tu
- ♠ Zostrojte lichobežník
, v ktorom sú dané veľkosti jeho strán pomocou posuvníkov. [Davidova, str. ...]
- Sú dané dve rôznobežné priamky
a úsečka
. Zostrojte rovnobežník
tak, aby:
. Rozbor Tu.
- Na ktorom mieste je potrebné zostrojiť most cez rieku, ktorá oddeľuje dve obce
tak, aby cesta z obce
do obce
bola čo najkratšia. Brehy rieky sa predpokladajú navzájom rovnobežné a most má byť postavený kolmo na brehy rieky. Rozbor Tu.
Rovnoľahlosť
- Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom
a dotýka sa polpriamok
. Otvorte si zadanie Tu.
- Zostrojte trojuholník
, ak je dané:
-
; Rozbor Tu
- ♠
, využite rovnoľahlosť so stredom
.
-
- Zostrojme priamku
, ktorá prechádza daným bodom
a neprístupným priesečníkom priamok
.
Rozbor: Neprístupný priesečník priamokje stred rovnoľahlosti. Applet Tu
- Je daná kružnica
a bod
, ktorý leží zvonku kružnice. Zostrojte sečnicu kružnice
tak, aby obsahovala bod
, pretínala
v bodoch
a aby platilo
.[1, rovnoľahlosť, pr. 1] Applet Tu.
-
Sú dané dve rôznobežky
, ktoré sa pretínajú v bode
a bod
. Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamky
v bode
a zároveň sa dotýkajú priamky
. Riešte úlohu aj pre prípad
.
Vety o zhodnosti trojuholníkov
- Dokážte, že v rovnobežníku
- protiľahlé strany sú zhodné a rovnobežné,
- protiľahlé vnútorné uhly sú zhodné,
- uhlopriečka delí rovnobežník na dva zhodné trojuholníky.
- Bod
je stredom základne
rovnoramenného trojuholníka
. Bodom
sú vedené kolmice k ramenám
a
. Päty týchto kolmíc označíme
. Dokážte, že trojuholník
je zhodný s trojuholníkom
.
- Je daný trojuholník
a priamka
, na ktorej leží ťažnica
trojuholníka. Dokážte, že body
majú od priamky
rovnakú vzdialenosť.
- ♥ Daná je úsečka
a priamka
. Zostrojte trojuholník
s vrcholom
a výškou
, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke
. [4]
- ♥ Zostrojte trojuholník
, ak sú dané: ťažnica
, výška
, uhol
.
Zbierky úloh
[1] Chalmovianska, J.: Zbierka úloh - osová súmernosť, stredová súmernosť, otáčanie, posunutie, rovnoľahlosť
[2] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu
[3] Riešené príklady Tu
[4] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Dostupné Tu.
[5] Davidová, E.: Řešení planimetrických úloh - konštrukční a početní úlohy. Dostupné Tu.
[6]Martišek, D.: Planimetrie. Dostupné na internete Tu
[1] Chalmovianska, J.: Zbierka úloh - osová súmernosť, stredová súmernosť, otáčanie, posunutie, rovnoľahlosť
[2] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu
[3] Riešené príklady Tu
[4] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Dostupné Tu.
[5] Davidová, E.: Řešení planimetrických úloh - konštrukční a početní úlohy. Dostupné Tu.
[6]Martišek, D.: Planimetrie. Dostupné na internete Tu