Významné prvky trojuholníka - cvičenia

Cvičenie

1. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý sú dané ťažnice $t_a , t_b , t_c$. Zadanie Tu
2. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je dané: $AB , v_a , t_c$. Zadanie Tu. Riešenie vyhľadajte v práci ^[1]
3. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je daná výška $AA_0$, ťažnica $t_a$ a stred opísanej kružnice $S$.
4. ♥ Daná je úsečka $AA_0$ a priamka $p$. Zostrojte trojuholník $ABC$ s vrcholom $A$ a výškou $AA_0$, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke $p$. ^[2]
5. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je daná výška $v_a$ a ťažnice $t_a, t_b$. ^[3]
6. Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý sú dané výšky $v_a , v_b , v_c$.
7. Dokážte, že pre ťažnice $t_a, t_b, t_c$ platí vzťah: $\frac{1}{2} (a+b+c) < t_a + t_b + t_c < a+ b + c$.^[4]
8. ♥♥ Dokážte, že ťažnice v ľubovoľnom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode pomocou osovej afinity.
Veľkosti daných úsečiek (ťažnice, výšky a pod.) sú v jednotlivých cvičeniach zadané pomocou posuvníkov.

[1] Davidová, E.: Řešení planimetrických konstrukčních úloh. Ostrava 2005. Dostupné Tu.
[2] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Vyhľadajte autorské riešenie na stránke MO Tu.
[3] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu
[4] Križalkovič, K. a kol.: 500 riešených úloh z geometrie Alfa, Bratislava 1972, str.19.
[♥] Jedno srdiečko = jeden plusový bod 

Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý sú dané ťažnice $t_a = 5\; cm, , t_b = 6\; cm, t_c = 4\; cm$. Vyriešte úlohu na úrovni SŠ - veľkosti ťažníc sú zadané pomocou posuvníkov.

Rozbor

Konštrukcia

Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je dané: $AB = 6\; cm, , v_a = 4\; cm, t_c = 4\; cm$.^[1] Vyriešte úlohu na úrovni SŠ - veľkosti sú zadané pomocou posuvníkov.

Preštudujte si rozbor v práci Davidová Tu
Konštrukcia

Konštrukciu si stiahnete Tu. Na serveri GeoGebra Tu
Dokážte správnosť konštrukcie a urobte diskusiu o počte riešení na úrovni SŠ.

Polohová úloha
Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je dané: úsečka $AA_0$, ktorá je výškou trojuholníka, veľkosť ťažnice $t_a$ a stred opísanej kružnice $S$.

Rozbor

Konštrukcia

Stiahni si konštrukciu Tu. Na serveri GeoGebra Tu.
Dokážte správnosť konštrukcie a urobte diskusiu o počte riešení.

Nepolohová úloha
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, pre ktorý je dané: úsečka $\small AA_0$, ktorá je výškou trojuholníka, veľkosť ťažnice $\small t_a$ a polomer $\small r$ opísanej kružnice.

Daná je úsečka $AA_0$ a priamka $p$. Zostrojte trojuholník $ABC$ s vrcholom $A$ a výškou $AA_0$, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke $p$. ^{[Mat. olympiáda]}

Zostrojte trojuholník $ABC$, pre ktorý je daná výška $v_a$ a ťažnice $t_a, t_b$. ^[3]

Stiahni konštrukciu Tu. Na serveri GeoGebra Tu
Dokážte správnosť konštrukcie a urobte diskusiu o podmienkach a počte riešení úlohy

Cvičenie.

1. Je daný rovnostranný trojuholník $ABC$ so stranou dĺžky $a$. Určte:
• jeho výšku $v$
• polomer kružnice opísanej
• polomer kružnice vpísanej
2. V obdĺžnikovej záhrade rastie broskyňa. Tento strom je od dvoch susedných rohov záhrady vzdialený 5 metrov a 12 metrov a vzdialenosť medzi spomínanými dvoma rohmi je 13 metrov. Ďalej vieme, že broskyňa stojí na uhlopriečke záhrady. Aká veľká môže byť plocha záhrady? (MO Kat. Z)
3. Je daná kružnica $k (S;2)$ a ľubovoľný bod $A$, taký, že platí $SA = 4$. Z bodu $A$ sú zostrojené dotyčnice ku kružnici$k$ a body dotyku týchto dotyčníc $T_1 , T_2$. Určte: →
• veľkosť úsečky $AT_1$
• vzdialenosť stredu $S$ od úsečky $T_1T_2$
• veľkosť úsečky $T_1T_2$
4. Rozhodnite, či každý trojuholník o stranách $2n, n^2 + 1, n^2 - 1$ pre $n \geq 2$ je pravouhlý. Ktorá z uvedených strán je jeho preponou?
5. Zostrojte štvorec, ktorý má rovnaký obsah ako obdĺžnik o stranách 5 cm; 3 cm.
6. Obdĺžnik $ABCD$ má veľkosť susedných strán v pomere 3: 4, priemer opísanej kružnice je 10 cm. Určte veľkosti strán.
7. Vytvorte konštrukciu, v ktorej sa zobrazia odmocniny prirodzeného čísla $n$ ako prepony pravouhlých trojuholníkov $A_0A_kA_{k+1}$. Prepona $A_0A_{k+1}$ bude odvesnou ďalšieho trojuholníka. Číslo $n$ určte posuvníkom.