Blahušiaková, N.: Komparácia a elektronické spracovanie učebníc matematiky

Komparácia a elektronické spracovanie učebníc matematiky
Comparation and electronic processing of mathematics textbooks

Natália Blahušiaková¹
Školiteľ: prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.²
^1,2Katedra matematiky, FPV UMB, Tajovského 40, 97401, Banská Bystrica
¹ nblahusiakova2@student.umb.sk, ² pavol.hanzel@umb.sk

Práca TU

Abstrakt

Práca je zameraná na elektronické spracovanie a porovnanie dvoch učebníc matematiky „Učebnica matematiky pre 7. ročník základných škôl“ od prof. Ondreja Šedivého a „Učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom“, ktorej autorkou je dr. Viera Kolbaská na tému Lineárne rovnice na základnej škole. Obidve učebnice sú spracované v elektronickej podobe v e-learningovom softvéri Moodle a pri tvorbe riešenia úloh sa využíva geometricko-algebrický softvér GeoGebra. Grafické prevedenie elektronickej verzie učebnice je rovnaké ako papierová verzia. Žiak si môže preklikávať jednotlivé kroky postupu riešenia kedykoľvek v prípade jeho potrieb. Záver práce obsahuje zhrnutie a komparáciu získaných informácií.

Kľúčové slová: lineárna rovnica, učebnica, úloha, matematika, porovnávanie.

Úvod

Súčasná doba si vyžaduje nové postupy vo vyučovacom procese, ktorých cieľom je zvyšovanie aktívnej činnosti žiakov, viesť ich k hlbšiemu pochopeniu učiva na konkrétnych príkladoch s využitím v praxi pri riešení rôznych problémov. Prechod od pasívnej k aktívnej činnosti žiakov dosahujeme aplikovaním rôznych prístupov
pri vyučovaní matematiky, ktoré prispievajú k lepšiemu porozumeniu preberaného učiva. Aktívnou činnosťou skvalitňujeme vzdelávanie, čím podporujeme rozvoj kompetencií na lepšiu pripravenosť na budúce zamestnanie alebo k ďalšiemu štúdiu. Jedným z takýchto úspešných prístupov pri vyučovaní matematiky je používanie učebných pomôcok v elektronickej podobe. Učebné pomôcky v elektronickej podobe prinášajú možnosť budovania nových poznatkov aj počas dištančnej výučby alebo neprítomnosti žiaka na vyučovaní, čím zvyšujeme dostupnosť získavania nových poznatkov alebo pri opakovaní preberaného učiva.
Medzi najčastejšie používané textové učebné pomôcky vo vyučovaní matematiky patria učebnice a pracovné listy. Učebnica zohráva významnú pozíciu vo vyučovacom procese a je najdôležitejšou učebnou pomôckou pre žiakov. Učiteľ matematiky používa učebnicu ako oporu pri tvorbe materiálov na vyučovaciu hodinu, pričom sa musí oboznámiť so symbolmi a pojmami, ktoré sú použité v učebnici. Učebnica ako hlavný zdroj informácií slúži na upevňovanie učiva, či už v škole alebo doma.
Cieľom našej práce je elektronické spracovanie a porovnanie dvoch učebníc matematiky „Učebnica matematiky pre 7. ročník základných škôl“ od prof. Ondreja Šedivého a „Učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom“, ktorej autorkou je dr. Viera Kolbaská na tému Lineárne rovnice na základnej škole. Žiaci spoznávajú matematiku ako súčasť ľudskej kultúry a dôležitý nástroj pre spoločenský pokrok, počítaním zaujímavých príkladov rozvíjajú svoje logické a kritické myslenie. Taktiež rozvíjajú čitateľskú gramotnosť, naučia sa vyhodnocovať reálnu situáciu a interpretovať výsledok vlastnej práce.

Rovnosť a rovnica

V tejto podkapitole nájdeme rozbor témy Lineárne rovnice v učebnici matematiky „Učebnica matematiky pre 7. ročník základných škôl, druhá časť“ od prof. Ondreja Šedivého. Táto učebnica vyšla v dvoch dieloch. Téma Lineárne rovnice je začlenená už pre siedmy ročník základnej školy, pretože učebnica bola koncipovaná podľa štátneho vzdelávacieho štandardu platného pre rok 2000. V učebnici sú kapitoly Lineárne rovnice, Významné prvky trojuholníka, Percentá, Stredová a osová súmernosť, Kombinatorika, Mnohosteny, Zhodné zobrazenia, Topografické práce v teréne, Diagramy a Cvičenia na opakovanie. Kapitola Lineárne rovnice je rozdelená na štyri podkapitoly, a to sú Rovnosť a rovnica, Úpravy lineárnych rovníc, Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc, Slovné úlohy vedúce na riešenie lineárnych rovníc. Na konci každej témy sa nachádza Vyskúšajte sa!.
           Podkapitola Rovnosť a rovnica začína opakovaním už prebratého učiva s následnými jednoduchými úlohami na overenie a doplnenie znamienka. Ďalej nasleduje zopakovanie si pojmov s grafickým znázornením. Po zopakovaní nasleduje zhrnutie a niekoľko definícii doplnené poznámkou. Po tejto časti nasleduje niekoľko úloh na zopakovanie. Po úlohách je zaradená problémová úloha, ktorá má riešenie. Riešenie je znázornené aj graficky pre lepšie zapamätanie. Postup je doplnený poznámkou a ďalšími úlohami. Nasleduje riešenie jednoduchých typov rovníc a pokračujú náročnejšie úlohy a cvičenia na zopakovanie utvrdenie učiva.
            Druhá podkapitola sa nazýva Úpravy lineárnych rovníc. Táto podkapitola začína problémovou úlohou s názorným obrázkom a riešením doplnené o slovné vysvetlenie. Úpravy lineárnych rovníc sú vysvetľované pomocou modelu váh. V podkapitole sa vyskytujú podobné príklady s riešeniami a úlohy doplnené obrázkami, poznámkami a zhrnutím. Potom sa plynule prechádza k cvičeniam. Na konci učebnice sa nachádzajú výsledky úloh a cvičení.
           Táto učebnica je spracovaná systematicky, vieme, ako sú témy nadviazané. Učivo o lineárnych rovniciach je tvorené ucelene, v logickom poradí s vhodnými príkladmi a ilustráciami. Obsahuje rôzne úlohy zoradené od najjednoduchších až po zložitejšie. Graficky je spracovaná jednoducho, žiak si názornými ukážkami lepšie zapamätá učivo, čo prispieva k rozvíjaniu abstraktného myslenia. Táto učebnica je viac prínosná pre žiakov z hľadiska štruktúry. Obsahuje dôležité informácie, ktoré sú priehľadné. V učebnici sa okrem bieleho podkladu a čierneho textu vyskytuje len minimum iných farieb, ak si odmyslíme informačné obrázky. Výnimkou sú definície, ktoré sú vyznačené ružovými a žltými rámčekmi Výhodou je, že v učebnici môžeme nájsť príklady s postupom riešenia, ktoré môžu viesť k lepšiemu pochopeniu učiva. Téma lineárne rovnice je ilustrovaná na rade príkladov, ktoré predstavujú situácie z reálneho života. Učebnica obsahuje aj vysvetlenia pojmov a teórie, čo nasvedčuje tomu, že učebnica spĺňa podmienky na to, aby mohla slúžiť ako materiál pri samoštúdiu.

Téma: Lineárne rovnice

Šedivý, O. a kol: Učebnica matematiky, 7. ročník

Zopakujme si

Zápisy s číslami alebo s číselnými výrazmi, ktoré majú tvar:

$4 + 2 = 6$

$8 - 4 = 2 . 2$

$5 . 3 = 30 : 6 + 10$
nazývame rovnosť.

$8 - 4 = 2 . 2$
ľavá strana rovnosti pravá strana rovnosti
Ľ = 4 P = 4
Ľ = P
Ak platí Ľ = P, rovnosť je platná.

Rovnosť

$10 - 4 = -6$ je neplatná, pretože Ľ = 6 P = - 6.
Zápis opravíme takto:

$10 - 4 \neq -6$ a nazývame ho nerovnosť.

Úloha     Overte, že dané rovnosti sú platné:
    a) $2 . 3 + 3. 3 = 5 . 3$                                   b) $-1 + 7 . 8 = 55$
    c) $12 = 2,5 + 9,5$                          d) $\frac{3}{4} + \frac{2}{8} = \frac{5}{5}$

Úloha
Doplňte znamienko = alebo

$\neq$ ( na miesto

$\otimes$ ) podľa toho, či ide o rovnosť alebo nerovnosť.
a)

$8 . 4 + 8 \otimes 42$ b)

$-1 + (-2) . 4 \otimes -9$ c)

$1,8 : (-3) \otimes 0,6$ d)

$\frac{2}{3} . \frac{1}{2} \otimes \frac{2}{6}$

ZOPAKUJME SI

Výrazy s jednou premennou

$x + x + x$

$\frac{x}{5} + 3$

$2p - 8$

$3x$ ....

$3$ = koeficient,

$x$ = premenná

$3z + 5$ .....

$3z$ = člen s premennou,

$5$ = číslo ( člen bez premennej)

Výrazy s premennou vieme:

sčitovať $(6x+ 2 )+ (5-2x) = 6x + 2 + 5 - 2x = 6x - 2x + 2 +5 = 4x + 7$
odčitovať $(6x+ 2)- (5-2x) = 6x + 2 - 5 + 2x = 6x + 2x + 2 -5 = 8x - 3$

Sčitujeme spolu koeficienty pri členoch s rovnakou premennou
a spolu čísla - členy výrazu bez premennej.
Keď je pred zátvorkou znamienko "mínus", zátvorku odstránime tak,
že pri všetkých členoch výrazu v zátvorke zmeníme znamienka
na opačné.

násobiť výraz číslom rôznym od nuly $5. (1,2a + 0,6) = 6a + 3$ ; $-2. (5 - c) = -10 + c = c - 10$ ; $(y - 6) . (-5) = -5y + 30 = 30 - 5y$
deliť výraz číslom rôznym od nuly $(35d + 7) : 7 = 5d + 1$ ; $(5c + 9) : 10 = 0,5c + 0,9$

Daným číslom násobíme alebo delíme každý člen výrazu.
Keď je číslo, ktorým výraz násobíme alebo delíme záporné, znamienka
všetkých členov výrazu sa zmenia na opačné.

upravovať výraz vynímaním najväčšieho spoločného deliteľa všetkých členov pred zátvorku $16a + 12 = 4 . (4a+3)$ ; $100 - 20y = 20 . (5 -y)$

Najväčšieho spoločného deliteľa všetkých členov výrazu napíšeme
(vyjmeme) pred zátvorku.
V zátvorke zostanú členy, ktoré sme týmto deliteľom vydelili.

$$ .$ $

Poznámka
Znamienko operácie násobenia "." môžeme vynechať.
Platí:

$5 . (1,2a + 0,6) = 5(1,2a + 0,6)$

Úloha
Upravte výrazy s premennou pomocou uvedených operácií:
a)

$(6x + 12)+ (x-6)$ c)

$4(0,4z - 0,5)$ e)

$(5,6 - 2,8b) : (-7)$
b)

$(y-6) - (6-2y)$ d)

$(2a - 22) : 2$ f)

$\frac{1}{5}(25c + 15)$

Úloha
Upravte výrazy vyňatím najväčšieho spoločného deliteľa pred zátvorku:
a)

$17x + 34$ b)

$12 - 9y)$ c)

$8 + 10z$ d)

$16s - 8$

Problém 1
Ako nazývame zápis

$x - 5 = 4$ ?
Čo vieme o ňom povedať?

Riešenie
Odpovedá Adam:
Zápis

$x - 5 = 4$ nazývame rovnica.
Premennú

$x$ na ľavej strane nazývame neznáma.

Zápis

$x - 5 = 4$ je rovnica s neznámou x.
ľavá strana rovnice pravá strana rovnice

Ľ P

Martin si nakreslí obrázok, ktorý si pamätá z piateho ročníka a zapíše:

Riešenie TU

Riešenie rovnice - je postup, ktorým vypočítame hodnotu neznámej

$x$
- je vypočítaná hodnota neznámej

$x$ , ktorú nazývame aj koreň rovnice.

Riešením alebo koreňom našej rovnice je hodnota

$x = 9$ .

Správnosť riešenia overíme skúškou správnosti.

Skúška: Ľ =

$x - 5 = 9 - 5 = 4$

P = 4

platí Ľ= P rovnica je vyriešená správne.

Pre $x = 9$ je rovnica $x - 5 = 4$ platná rovnosť.

$$ .$ $

Poznámka
Neznámu môžeme v rovniciach označovať aj inými písmenami, napr. a, b, c,.....x, y, z.

Úloha 5
Zistite, či číslo 3 je koreňom nasledujúcich rovníc:
a)

$5x + 4 = 19$ b)

$6 = 30 - 8y$ c)

$11z - 10 = 22$

Úloha 6
Overte, že rovnica:
a)

$20 = 5x - 5$ má riešenie (koreň) číslo

$5$
b)

$6x + 1 = 7 - 3x$ má riešenie (koreň) číslo

$\frac{2}{-3}$
c)

$2y + 1= y - 2$ má riešenie (koreň) číslo

$-3$

Niektoré jednoduchšie typy rovníc vieme riešiť:

Príklad 1
Skontrolujte riešenie nasledujúcej rovnice:

$2x + 4 = 16$

Riešenie

Riešenie TU

Úloha 7
Zapíšte a vypočítajte

$x$ , ak platí:
a)

$x$ je o 6 menšie ako 2 c)

$x$ je 5,2-krát väčšie ako 2
b)

$x$ je o

$\frac{1}{2}$ väčšie ako

$\frac{1}{4}$ d)

$x$ je 3-krát menšie ako 3,3

Úloha 8
Riešte rovnice a vykonajte skúšku správnosti:
a)

$y + 5,5 = 2,8 - 1$ b)

$1,4 . z = 0,7$ c)

$\frac{1}{2} - a = \frac{1}{4}$ d)

$5b + 2 = 13$

$$ .$ $

Cvičenia

1. Overte, že dané rovnosti sú platné:
a)

$500 + 2.200 + 5.20 = 1000$ c)

$0,8 + 0,9 = 0,3 . 4 + 0,05 . 10$
b)

$-4(6+2) + 12 = -5.4$ d)

$\frac{5}{-3} - \frac{3}{5} = 2 - \frac{14}{15}$

2. Doplňte znamienko

$=$ alebo

$\neq$ podľa toho, či ide o rovnosť alebo nerovnosť.
a)

$-4 . (-3) - 10 \otimes -2$ c)

$6,5 : 5 - 0,5 . (10 - 12) \otimes 2,3$
b)

$5 . (2,2 + 4) : 2 \otimes 21 - 0,4$ d)

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \otimes \frac{4}{6}$

3. Upravte výrazy s premennou:
a)

$5x + 2 -3x + 4$ c)

$-(5x + 2) + (3x + 4)$
b)

$5x + 2 - (3x + 4)$ d)

$5x + 2 - (3x - 4)$

4. Zjednodušte:
a)

$3(10 - 2y) + 2(3y - 4)$ c)

$(6 + 0,2y) : 2 - 3 + 0,1y$
b)

$0,3 + 5y) . 5 - 0,4y$ d)

$(3,5 + 7y) : (-7) + 0,5y$

5. Určte, pre ktoré

$x$ platí: a)

$-x = -5$ b)

$\frac{1}{7} = -x$ c)

$\frac{x}{4} = \frac{2}{4}$

6. Dĺžka jednej strany obdĺžnika je

$a$ , druhá strana
a) je o 2,5 dlhšia; b) je 1,2-krát dlhšia; c) má

$\frac{2}{3}$ dĺžky prvej.
Zostavte výrazy na výpočet obvodov a obsahov takýchto obdĺžnikov.

7. Zistite, či je číslo 7 koreňom niektorej z nasledujúcich rovníc:
a)

$3x + 6 = (x - 4) . 9$ c)

$0,3 + x = 2,7 - 10$
b)

$2 = 20 - 3x$ d)

$\frac{x}{2} + 3,5 = x$

8. Z množiny {-1, 0, 1, 2} vyberte tie čísla, ktoré sú koreňmi rovnice:
a)

$2x - 1 =x +1$ b)

$x -2 = 2x -1$

9. Pokúste sa spamäti nájsť

$x$ , pre ktoré platí:
a)

$x - 5 = 15$ b)

$x : 5 = 15$ c)

$x + 5 = 15$ d)

$5 . x = 15$

10. Riešte rovnice a urobte skúšky správnosti:
a)

$24 - 4x = 20$ c)

$2y = 4(0,5 + \frac{3}{2} ) - 1$
b)

$5z + \frac{1}{2} = 0$ d)

$6 . \frac{2}{3} + x = 4$

$$ .$ $

Úpravy lineárnych rovníc

Problém
Siedmak Ivan rieši so svojou sestrou štvrtáčkou Betkou úlohy na prípravu do prímy osemročného gymnázia. Pomôžte mu Betke vysvetliť, ako sa dá iba z obrázka vyriešiť táto úloha.
Určte hmotnosť kocky:

Applet model váh

Riešenie
Betka určuje hmotnosť kocky:
rovnováha sa nezmení, ak z obidvoch misiek odoberiem po dve závažia a po jednej kocke. Hmotnosť jednej kocky je potom súčet hmotností závaží na pravej strane, teda 2 kg.
Odpoveď:

Hmotnosť kocky je 2 kg.

Ľavú a pravú stranu každej rovnice si môžeme predstaviť ako misky váh. Situáciu z problému 1 môžeme zapísať rovnicou:

$2x + 2 = x + 4$ ,
kde

$x$ je neznáma hmotnosť kocky.
Teraz si popíšeme úpravy, ktoré nám pomôžu rovnicu vyriešiť. Ešte raz pripomíname:

Riešenie rovnice je:

postup riešenia → výpočet neznámej $x$
hodnota neznámej $x$ → koreň rovnice.

Všimnime si
Na rovnoramenných váhach nastane rovnováha vtedy, ak na ľavú aj pravú misku položíme závažia alebo predmety rovnakej hmotnosti. Hovoríme, že medzi hmotnosťami predmetov na oboch miskách váh nastala rovnosť.

Martina ukladá na misky váh kocky rovnakej hmotnosti. Urobí niekoľko pokusov, pri ktorých vymení obsah jednotlivých misiek.

Pokus

Platí P = Ľ
Rovnováha na váhach sa nezmení, ak vymeníme obsah jednotlivých misiek.

Riešenie rovnice sa nezmení, ak vymeníme
ľavú a pravú stranu rovnice.

$$ .$ $

Príklad 1

Všimnite si riešenia nasledujúcich rovníc:
a)

$20 - 4x = 12$ b)

$14 - x = 2 + 45 : 9$

Riešenie

Applet TU

Applet TU

Úloha 1

Presvedčte sa, že rovnice

$x + 2 = 5$ a

$5 = x + 2$ majú rovnaké riešenie (ten istý koreň).

Applet TU

Pokus 2

Martina pridá na každú misku dve kocky.

Ľ = P Ľ + a = P + a
Rovnováha zostane zachovaná, pretože hmotnosť sa na obidvoch stranách váh zväčší rovnako.

Riešenie rovnice sa nezmení, ak k obidvom stranám rovnice
pričítame to isté číslo.

Príklad 2

Riešenie rovnicu

$x - 11 = 13$

Riešenie

Applet TU

$$ .$ $

Pokus 3

Martina odoberie z oboch misiek tri kocky:

Ľ = P Ľ - a = P - a
Rovnováha zostane zachovaná, pretože hmotnosť sa na obidvoch stranách váh zmenší rovnako.

Riešenie rovnice sa nezmení, ak od obidvoch strán rovnice
odčítame to isté číslo.

Príklad 3

Riešte rovnicu

$x + 6 = 10$

Riešenie

Applet TU

Pokus 4

Martina zdvojnásobí počet kociek na ľavej strane misky. Aby zostala rovnováha zachovaná, musí zdvojnásobiť aj počet kociek na pravej miske. Hmotnosť na ľavej a pravej miske sa zdvojnásobí, zväčší sa dvakrát.

Ľ = P n . Ľ = n . P

Riešenie rovnice sa nezmení, ak obidve strany rovnice
vynásobíme tým istým číslom, rôznym od nuly.

Príklad 4

Riešte rovnicu

$\frac{x}{5} = 6$

Riešenie

Applet TU

$$ .$ $

Pokus 5

Martina odoberie z ľavej misky polovicu kociek. Aby váhy zostali v rovnováhe, musí aj z pravej misky odobrať polovicu kociek. Hmotnosť na ľavej aj pravej miske váh sa zmenší na polovicu predchádzajúcej hmotnosti.

Ľ = P Ľ : n = P : n

Riešenie rovnice sa nezmení, ak obidve strany rovnice
vydelíme tým istým číslom, rôznym od nuly.

Príklad 5

Riešte rovnicu

$4x = 32$

Riešenie

Applet TU

Úloha 2

Pomocou úprav z predchádzajúcich pokusov riešte rovnice s neznámou

$z$ :
a)

$z + 15 = 60$ b)

$-9 + z = -12$ c)

$1,2z = 4,8$ d)

$\frac{z}{7} = 5,6$

Rovnice v predchádzajúcich príkladoch boli veľmi jednoduché. Na ich vyriešenie stačila iba jedna úprava, ktorá sa dala vykonať aj spamäti alebo nakresliť pomocou diagramu. Overte si to!
My si v nasledujúcich príkladoch ukážeme, ako postupujeme pri riešení zložitejších rovníc. Na ich vyriešenie (nájdenie ich koreňov) budeme musieť použiť viac ako jednu z predchádzajúcich úprav.

Príklad 6

Ivan sa vrátil k rovnici z problému 1 a rieši ju pomocou úprav, ktoré sa práve naučil. Pozrite si pozorne jeho riešenie a popíšte úpravy, ktoré urobil. Urobte aj skúšku správnosti. Ivan rieši rovnicu:

$2x + 2 = x + 4$

Riešenie

Applet TU

Poznámka
Ak pozorne sledujete Ivanove riešenie, zistíte, že od oboch strán rovnice môžeme odčítať (k obom stranám pričítať) aj členy s neznámou. Rovnicu sa snažíme upravovať tak, aby sme na jednej strane (obyčajne ľavej) osamostatnili neznámu a aby na druhej strane zostali iba čísla.

$$ .$ $

Ekvivalentné úpravy rovníc

výmena ľavej a pravej strany rovnice
pričítanie toho istého čísla alebo mnohočlena k obidvom stranám rovnice
odčítanie toho istého čísla alebo mnohočlena od obidvoch strán rovnice
vynásobenie oboch strán rovnice tým istým nenulovým číslom
vydelenie obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom

Poznámka
Slovo ekvivalentný pochádza z latinského slova aequivalens (čítaj ekvivalents) a znamená rovnaký, ten istý, rovnako hodnotný. Ekvivalentné úpravy rovníc sú tie, ktoré nezmenia riešenia (koreň) rovnice a pomôžu nám rovnicu vyriešiť.

Ešte raz si na príkladoch podrobne ukážeme riešenie rovníc pomocou ekvivalentných úprav.

Príklad 7
Pomocou ekvivalentných úprav riešte rovnice:
a)

$15 = 9 - x$ b)

$x - 14 = 7x +10$

Riešenie

Applet TU

Applet TU

Poznámka
Pri všetkých úpravách píšeme znak rovnosti pod seba. Úpravy rovnice zapisujeme za lomítko "/" do stĺpca, ktorý je dostatočne ďaleko od riešenia rovnice.

Úloha 3
Pomocou ekvivalentných úprav riešte rovnice:
a)

$2x - 4 = 12$ b)

$9x + 10 =91$
c)

$9x - 4 = 8x$ d)

$-1 = 9x -64$

Úloha 4
a) Pomenujte ekvivalentné úpravy, ktoré sú použité pri tomto riešení rovnice a urobte skúšku správnosti:

b) Vyriešte tú istú rovnicu pomocou iných ekvivalentných úprav.

$$ .$ $

Cvičenia

Nasledujúce dve cvičenia vyriešte najskôr úvahou, potom zostavte rovnicu a vyriešte ju. Nezabudnite na skúšku správnosti.
1. Katka váži guľôčky: Všetky guľôčky majú rovnakú hmotnosť. Koľko váži jedna guľôčka?

2. Určte hmotnosť kovového valčeka:

3. Máme závažia hmotnosti 1 kg, 3 kg a 9 kg a predmet, ktorý má hmotnosť
a) 5 kg b) 7 kg c) 11 kg.
Ako budú závažia i predmet rozložené na miskách váh, ak musíte použiť všetky závažia a váhy sú v rovnováhe? Znázornite graficky.

4. Riešte rovnice, pomenujte úpravy, ktoré robíte a skúšku správnosti urobte spamäti:
a)

$5y = y + 16$ b)

$0,4x = 36$ c)

$-25 = 2x$ d)

$5x - 6 = 24$

5. Riešte rovnice pomocou ekvivalentných úprav a urobte skúšky správnosti:
a)

$5z - 1 = -19$ c)

$-2x -2 = 4 - 3x$
b)

$15x + 1 = 8x -13$ d)

$5 + 4x = 5x - 22$

6. Vyberte správnu odpoveď:
Riešením (koreňom) rovnice

$8x - 49 = -x - 4$ je číslo: A -5; B 5; C 6.

$$ .$ $

Výsledky

7.1. Rovnosť a rovnica
Úlohy: 2.a)

$\neq$ ; b)

$=$ ; c)

$\neq$ ; d)

$=$ ; 3.a)

$7x + 6$ ; b)

$3y - 12$ ; c)

$1,6z - 2$ ; d)

$a - 11$ ; e)

$-0,8 + 0,4b$ ; f)

$5c + 3$ ; 4.a)

$17(x + 2)$ ; b)

$3(4 - 3y)$ ; c)

$2(4 + 5z)$ ; d)

$8(2s - 1)$ ; 5.a) áno ; b) áno ; c) nie ; 7.a)

$x + 6 = 2$ ;

$x = -4$ ; b)

$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ;

$x = \frac{3}{4}$ ; c)

$x : 5,2 = 2$ ;

$x = 10,4$ ; d)

$x . 3 = 3,3$ ;

$x = 1,1$ ; 8.a)

$y = -3,7$ ; b)

$z = 0,5$ ; c)

$a = \frac{1}{4}$ ; d)

$b = \frac{11}{5}$ .

Cvičenia: 2.a)

$\neq$ ; b)

$\neq$ ; c)

$=$ ; d)

$=$ ; 3.a)

$2x + 6$ ; b)

$2x - 2$ ; c)

$-2x + 2$ ; d)

$2x + 6$ ; 4.a)

$22$ ; b)

$24,6y + 15$ ; c)

$0,2y$ ; d)

$-0,5 - 0,5y$ ; 5.a)

$x = 5$ ; b)

$x = - \frac{1}{7}$ ; c)

$x = 2$ ; 6.a)

$4a + 5$ ; b)

$4,4a$ ; c)

$\frac{10}{3} a$ ; 7.a) áno ; b) nie ; c) nie ; d) áno ; 8.a)

$x = 2$ ; b)

$x = -1$ ; 10.a)

$x = 1$ ; b)

$z = -\frac{1}{10}$ ; c)

$y = \frac{7}{2}$ ; d)

$x = 0$ .

7.2. Úpravy lineárnych rovníc
Úlohy: 2.a)

$z = 45$ ; b)

$z = -3$ ; c)

$z = 4$ ; d)

$z = 39,2$ ; 3.a)

$x = 8$ ; b)

$x = 9$ ; c)

$x = 4$ ; d)

$x = 7$ .

Cvičenia: 1. 100 g ; 2. 0,3 kg ; 3.a)

$predmet + 1 kg + 3 kg = 9 kg$ ; b)

$predmet + 3 kg = 1 kg + 9 kg$ ; c)

$predmet + 1 kg = 3 kg + 9 kg$ ; 4.a)

$y = 4$ ; b)

$y = 90$ ; c)

$x = -\frac{25}{2}$ ; d)

$x = \frac{18}{5}$ ; 5.a)

$z = -\frac{18}{5}$ ; b)

$x = - \frac{12}{7}$ ; c)

$x = 6$ ; d)

$x = 27$ 6. B.

$$ .$ $

Modely na precvičovanie

Program Geogebra umožňuje vytvárať dynamické modely aj pre oblasť algebry. Pre tematickú oblasť "Ekvivalentné úpravy pri riešení lineárnych rovníc" určenú pre žiakov základných škôl existujú na serveri www.geogebra.org viaceré applety na precvičovanie riešenia lineárnych rovníc. Pre účely našej práce sme vybrali dve dynamické konštrukcie:

V nasledujúcom dynamickom modeli aplikujte koncept "ekvivalentných úprav" na riešenie jednoduchých lineárnych rovníc s jednou premennou x. Model automaticky generuje nové zadanie. Do textového poľa "Zadajte:" vpisujte vhodné hodnoty, ktoré použijete pri ekvivalentných úpravách. Potom zvoľte operáciu (sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie)
Pri riešení rovnice môžete využiť aj "Pomoc", kde ...

Applet TU

Model vychádza z dostupného appletu "Solve Simple Linear Equations in One Variable", ktorého autorom je Lew W. S. Pôvodný applet je dostupný Tu.

V nasledujúcej aktivite tlačítko "Nový príklad" vygeneruje nové zadanie lineárnej rovnice. Aktivita je rozdelená na dve časti.

najskôr musíte nastaviť na rovnoramenných váhach množstvá, ktoré odpovedajú vygenerovanej rovnici. Počet predmetov X a počet jednotiek (kg) nastavíte pomocou šípok. Ak sa pomýlite, použite tlačidlo „Vymazať“ a začnite odznova.
V druhej časti budete riešiť rovnicu pomocou ekvivalentných úprav. Do textového poľa "Pridajte k obidvom ..." vpisujte vhodné hodnoty, ktoré použijete pri úpravách. Potom zvoľte aritmetickú operáciu.

Stlačením tlačidla "Opera" vykonajte zvolenú operáciu. Táto operácia sa použije na dve misky stupnice, teda na celú rovnicu. Ak správne zvolíte operácie, rovnica sa bude viac a viac zjednodušovať, až kým nedôjdete k výsledku.

Applet TU

Model vychádza z appletu "od autora: Rafael Losada Liste, Person Link Originál: La balanza - Dostupné Tu".

$\( .$ \

Riešenie lineárnych rovníc a nerovníc

Jednoduché lineárne rovnice, riešené pomocou ekvivalentných úprav

Táto podkapitola je zameraná na rozbor témy Lineárne rovnice v učebnici matematiky „Učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom, prvá časť“, ktorej autorkou je dr. Viera Kolbaská. Táto učebnica vyšla v dvoch častiach. Téma Lineárne rovnice je spomenutá pre deviaty ročník základnej školy a štvrtý ročník s osemročným štúdiom, pretože učebnica je vypracovaná v súlade so štátnym vzdelávacím štandardom platným pre rok 2012. V učebnici sa nachádzajú kapitoly Úvod, Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel, Pytagorova veta, Riešenie lineárnych rovníc a nerovníc, Súmernosť v rovine, Výsledky a Metodické poznámky pre učiteľov.
      Kapitola Riešenie lineárnych rovníc a nerovníc je tvorená piatimi podkapitolami Jednoduché lineárne rovnice, riešené pomocou ekvivalentných úprav, Jednoduché lineárne nerovnice, Jednoduché lineárne rovnice s neznámou v menovateli, Vyjadrenie neznámej zo vzorca, Riešenie slovných (kontextových) úloh, ktoré sa dajú riešiť pomocou lineárnej rovnice alebo nerovnice.
          Podkapitola Jednoduché lineárne rovnice, riešené pomocou ekvivalentných úprav začína žltým obdĺžnikom s názvom „Čo sme sa už naučili“, ktorá žiakom pripomína, čo by už mali vedieť. Nasledujú úlohy rôzneho typu označené modrým číslom v žltom obdĺžniku, za ktorými nasledujú riešenia týchto úloh. Úlohy s červeným číslom v žltom obdĺžniku sú neriešené. Sú to úlohy na precvičovanie učiva. Náročnejšie úlohy sú označené jednou alebo dvoma hviezdičkami podľa ich náročnosti. Učebnica obsahuje definície označené paragrafom v modrom obdĺžniku. Informácie, ktoré môžu pomôcť pri riešení úloh, sú označené v ružovom rámčeku ako Pomôcka. Zelené políčko sa začína Viete, že ...?, ktoré obsahuje rôzne zaujímavosti. Nachádza sa tu aj problémová úloha, ktorá sa bežne nerieši a je určená pre žiakov s hlbším záujmom o matematiku. Na precvičenie učiva obsahuje učebnica súbory úloh obsiahnuté v tmavozelenom rámčeku pod názvom Vyskúšajte sa. Na konci tematických celkov je súhrn prebratého učiva v ružovom rámčeku ako Zapamätajte si. Nasledujú riešenia rovníc, ktoré sú písané na každej strane v dvoch stĺpcoch, čo na žiaka môže pôsobiť zmätene a potrvá mu, kým sa zorientuje, kde riešenie pokračuje. Strana je rozdelená na dva stĺpce. V ľavom stĺpci dole je zadanie Príkladu 6. Za zadaním sa nachádza riešenie príkladu, ktoré pokračuje v pravom stĺpci hore. Riešenie príkladu pokračuje ďalej na ďalšej strane hore v ľavom a aj v pravom stĺpci, čo pôsobí chaoticky.
          Táto učebnica je nesystematická, chaotická a nedostatočne objasňuje podstatu učiva. Chýba vysvetlenie a zhrnutie úpravy lineárnych rovníc. Text je nahustený, písaný v dvoch stĺpcoch, nevieme, čo za čím nasleduje. Je veľmi pestrofarebná. Pri chvíľke nepozornosti sa v nej žiak stratí. Učebnica od dr. Viery Kolbaskej v počte obrázkov a farieb mierne predbieha učebnicu od prof. Šedivého. Okrem bieleho podkladu a čierneho textu sa vyskytujú aj iné farby. Definície, zhrnutia, zadania úloh a ich riešenia sú rôznofarebne vyznačené. V učebnici sa vyskytujú príklady s postupom riešenia, ktoré môžu viesť k lepšiemu pochopeniu samotnej látky

Kolbaská, V.: Učebnica matematiky, 9. ročník

Téma: Lineárne rovnice

Jednoduché lineárne rovnice riešené pomocou ekvivalentných úprav

Čo sme sa už učili
1.Zisti, či platírovnosť :

$3 . (– 2 + 4) + 5 = 5 . 3 – 2^2$

Riešenie 1.

Riešenie TU

2 . Aké číslo môžeš doplniť do štvorčeka v zápise

$2. ⬜️ + 1 = -12 + 3$
tak, aby platila rovnosť?

Riešenie 2.

Riešenie TU

Projektová úloha
Pojem „rovnosť“ poznáme nielen ako matematický pojem. Deklarácia ľudských práv používa pojem rovnosť častejšie ako matematici. Čo o nej viete? A čo znamená výraz ekvivalencia?

$$ .$ $

Ak vieme rovnosť dvoch výrazov s neznámou $x$ upraviť na tvar
$a . x = b$ , kde $a$ a $b$ sú reálne čísla,
tak túto rovnosť nazývame lineárna rovnica s neznámou $x$ .
Riešenie lineárnej rovnice – koreň rovnice je číslo

$x = \frac{b}{a}$ , pre

$a \neq 0$ .

Lineárne rovnice riešime ekvivalentnými úpravami. Ukážeme si ich znovu trochu inak.

3. Riešrovnice s neznámou $x$ :
a)

$x – 12 = – 3$ b)

$x + 8 = 1$ c)

$6 . x = – 18$ d )

$\frac{x}{7} = 9$

Riešenie 3.

Riešenie TU

Riešenie TU

Riešenie TU

Riešenie TU

4. Vypočítaj korene rovníc, urob skúšky správnosti riešenia:
a)

$4 . x – 12 = 16$ b)

$\frac{x}{2} - 1 = 5$

Riešenie 4.

Riešenie TU

Riešenie TU

$$ .$ $

5. Vypočítaj korene rovníc, urob skúšky správnosti riešení:
a)

$3 . x – 8 = 7$ b)

$7 . x + 3 = – 18$
c)

$\frac{x}{4} - 3 = 1$ d)

$\frac{x}{3} + 2 = - 1$
Vieš tieto úlohy riešiť aj spamäti?

6. Rieš lineárne rovnice. Vykonaj skúšky správnosti riešení:
a)

$5 . x + 7 = – 3 + 15$ b)

$9 + 4 . x – 3 = – 1 + 5$
c)

$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 1 - \frac{5}{6}$ d)

$– 3,2 + 0,6 . x = – 1 – 0,2$

Riešenie 6.

Riešenie TU

Riešenie TU

Pomôcka
Desatinné čísla niekedy zapisujeme v tvare zlomku alebo zmiešaného čísla. Pripomenieme si tento zápis.

0,7 čítame nula celých sedem desatín

$\frac{7}{10}$

1,02 čítame jedna celá dve stotiny

$1\frac{2}{ 100}$

Riešenie 6.

Riešenie TU

Riešenie TU

$$ .$ $

7. Riešrovnice. Vykonaj skúšky správnosti riešení.
a)

$6 . x + 3 = – 14 + 5$
b)

$2,5 + 2 . x – 0,5 = 2 – 3,5$
c)

$4,2 – 0,5 . x = – 7,5 – 0,2$
d)

$\frac{5x}{2} - \frac{2}{3} = 0,2 - \frac{1}{2}$

Doteraz sme riešili rovnice, ktorých pravá strana obsahovala len čísla alebo číselné výrazy.
Teraz vyriešime rovnice, ktorých pravá strana bude obsahovať výraz s neznámou.

8. Rieš rovnice. Vykonaj skúšky správnosti riešení.
a)

$2 . (x + 3) = 1 – 4x$
b)

$5 x – 4 = 3 . (x – 1)$
c)

$– 3 . (0,2x + 1) = 2 – (1,6x + 1)$
d)

$5 . (1,2 + x) – 4 . (0,5x – 1) = 0$

Riešenie 8.

Riešenie TU

Pomôcka
Niektorí už možno tieto úlohy počítali a použili nasledujúci zápis postupu riešenia:

$2 . (x + 3) = 1 – 4x$

$2x + 6 = 1 – 4x$

$2x + 4x = 1 – 6$

$6x = – 5$

$x$ =

$- \frac{5}{6}$
Vidíme:
rôzny zápis riešenia úlohy =
= rovnaký koreň rovnice.

Riešenie 8.

Riešenie TU

Riešenie TU

Riešenie TU

Viete, že...?
Existuje veda o číslach, ktorá sa nevolá matematika a číslo jeden je podľa nej číslom slnka. Zistite, aká je to veda.

$$ .$ $

9 . Rieš rovnice. Vykonaj skúšky správnosti riešení.
a)

$7 . (x - 2) = – 4 - 3x$
b)

$6x - 5 = 4. (x - 1)$
c)

$-2 . (1,5x + 1) = 1 - (x + 1)$
d)

$0,5 . (3 + x) - 0,2 . (0,5x - 5) = 0$

10. Riešrovnice. Vykonaj skúšky správnosti riešení.
a)

$5x . (1-x) - 3 = x . (2 - 5x)$
b) *

$(x - 1) . (x + 3) = x . (2 + x )$

Riešenie 10.

Riešenie TU

Riešenie TU

11.* Riešrovnice a urob skúšky správnosti riešení.
a)

$2x . (3 – x) + 5 = x . (1 – 2x)$
b)

$(x + 2) . (x + 1) = x . (x – 7)$
c)

$(x – 5) . ( x + 5) = (x – 10) . x$
d)

$(1 – x) . (1 + x) = (4 – x) . x$

Viete, že...?
Slovanské číslovanie, podobne ako rímske, používalo na zápis čísel písmená. Slovanské používalo až 27 písmen – nie veľkých ako rímske číslovanie, ale malých.

1 az    6 zeló
2 védi        7 zemlja
3 glagóľ 8 íže
4 dobró     9 fitá
5 esľ

Číslo 10 000 sa im zdalo tak veľké, že ho nazvali tma.

$$ .$ $

12. Vypočítaj koreň rovnice a urob skúšky správnosti riešení.
a)

$\frac{x + 1}{2} = \frac{x - 2}{4}$
b)*

$\frac{x}{5} - \frac{x + 3}{2} = \frac{3}{10}$
c)*

$\frac{x - 1}{2} = 0,5 . (x - 1)$

Riešenie 12.

Riešenie TU

Riešenie TU

Riešenie TU

Poznámka
Tento záver sme mohli vysloviť už vtedy, keď sme získali tieto rovnosti výrazov:

$x - 1 = x - 1$
$x = x$

13. Vypočítaj koreň rovnice a urob skúšky správnosti riešení .
a)

$\frac{x + 5}{3} = \frac{x - 9}{7}$ d)*

$\frac{x}{9} - \frac{x + 2}{3} = \frac{5}{18}$
b)

$\frac{x + 3}{4} + \frac{x}{3} = \frac{5}{6}$ e)*

$\frac{3 . (x + 4)}{5} - 2 = \frac{3x}{5} + 0,4$
c)

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{10} = \frac{1}{5}$ f)*

$\frac-{3 - x}{7} - \frac{x - 3}{7} = 0$

Pomôcka
Ak je pred zlomkom znamienko mínus , po ekvivalentnej úprave píšeme čitateľa v zátvorke. Mínus pred výrazom v zátvorke zmení znamienka vo výraze na opačné.

$-(2x + 3) = -2x - 3$

$-(2x + 3) = -2x + 3$

$-(-2x + 3) = 2x - 3$

14. Pre akú hodnotu neznámej $u$ sa dané dva výrazy rovnajú?
a)

$4 . (3u + 5); -6u + 8$ b)

$\frac{u + 4}{3}; \frac{5 + 3u}{2}$

Riešenie 14.

Riešenie TU

Pomôcka
Zlomky, s ktorými sme počítali, sme upravili na základný tvar – čitateľa aj menovateľa sme delili tým istým číslom rôznym od nuly.

$- \frac{12}{18} = -\frac{12:6}{18:6} = -\frac{2}{3}$

Riešenie 14.

Riešenie TU

15. Pre akú hodnotuneznámej $w$ sa dané dva výrazyrovnajú?
a)

$6 . (2w - 3); 5 . w + 2$ c)

$\frac{w - 1}{3}; \frac{1 + 2w}{6}$
b)

$6,5 . (-2w) + 7; 1,6 . w - 7,6$ d)

$\frac{w + 4}{7}; \frac{3 - w}{6}$

$$ .$ $

16. Pre akú hodnotu neznámej $y$ sa dané výrazy rovnajú 0?
a)

$3,5 . (2y + 4)$ b)

$\frac{(0,2 + y) . 5}{2}$

Riešenie 16.

Riešenie TU

Riešenie TU

Poznámka
Pri riešení rovnice

$3,5 · (2y + 4) = 0$ sme mohli použiť aj vetu:
Súčin dvoch činiteľov sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z nich rovná nule. Vtedy stačilo riešiť rovnicu:

$2y + 4 = 0$

$y = – 2$

17. Pre akú hodnotu neznámej $m$ sa dané výrazy rovnajú 0?
a)

$-2 + 3 . (m + 5)$ c)

$18 . \frac{m - 17}{2}$
b)

$2,4 - 2 . (m + 0,5)$ d)

$\frac{m + 1,5}{4} . 0,2$

18. Ktoré z vymenovaných čísel je riešením rovnice $2 · (x+ 5) =x– 4$ ?
A -5 B 1 C -14 D -9

Riešenie 18.

Riešenie TU

Problémová úloha

a) Pre akú hodnotu p nemá lineárna rovnica

$(2p – 1) · x + 4 = 12$ s neznámou x riešenie?
b) Pre akú hodnotu q má lineárna rovnica

$q · x – 2 q + 1 = 5q – 2$ s neznámou x nekonečne veľa riešení?

$$ .$ $

Vyskúšajte sa

V každej úlohe je len jedna z uvedených možností správna.

1. Riešením rovnice

$5x - 12 = 3x + 4$ je číslo:
A 8 B 2 C 4 D -8

2. Riešením rovnice

$0,5x + 0,4 = -1,5x - 0,6$ je číslo:
A 0,5 B -0,5 C 0,2 D -0,2

3. Riešením rovnice

$2 . (x - 3) - 1 = x - 2$ je číslo:
A 3 B 2 C 5 D 4

4. Riešením rovnice

$3x - 4 . (x + 1) = 1 - 6x$ je číslo:
A 1 B 5 C 0 D 2

5. R iešením rovnice

$\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 3}{5}$ je číslo:
A 11 B 4 C -4 D 10

6. R iešením rovnice

$\frac{x + 1}{4} + \frac{x - 2}{2} = \frac{x}{8}$ je číslo:
A 3 B 1,2 C 4,5 D 2

7. Ktoré z uvedených čísel je r iešením rovnice

$\frac{x - 1}{3}= 5$ ?
A 10 B 15 C 16 D 14

8. Ktoré z uvedených čísel je riešením rovnice

$\frac{x}{4} = 2 - \frac{1}{2}$ ?
A 8 B 12 C 7,5 D 6

9. Výrazy

$0,3 . (b - 2,5), - 0,7 . b + 0,25$ sa rovnajú pre

$b$ rovnajúce sa:
A 2,5 B 1 C 0,25 D 2,75

10. Výraz

$1,16 . p + 0,08 - 0,16 . (p. 2)$ sa rovná 0 pre

$p$ rovnajúce sa:
A 0,4 B 4 C -4 D -0,4

11.* Rovnica

$\frac{x - 1}{3} = \frac{2x + 6}{5}$ má také isté riešenie ako rovnica:
A

$\frac{x - 5}{15} = \frac{2x + 12}{15}$ B

$\frac{2x - 6}{3} = \frac{x - 1}{5}$
C

$\frac{x}{3} - 0,3 = \frac{2x}{5} + 1,2$ D

$\frac{x + 20}{2} = -1,5$

12. Riešením rovnice

$-6x + 7 = 2x - 17$ je
A číslo menšie ako 2 B číslo väčšie ako 2
C číslo väčšie ako 5 D záporné číslo

13. Riešenie väčšie ako 10 má rovnica:
A

$x + 3 = \frac{x + 10}{5}$ B

$0,4x - 0,5 = -0,2x + 1,5$
C

$\frac{x}{3} = \frac{x}{2} - 10$ D

$\frac{x + 4}{2} = 5$

14. Z uvedených rovníc nemá riešenie rovnica:
A

$0,5x + 0,1 = \frac{x + 10}{2}$ B

$5x - 3 = 3 - 5x$
C

$1 - \frac{x}{8} = \frac{x}{2} + 1$ D

$\frac{x + 4}{2} = 0,5x + 2$

\

$$ .$ $

Zapamätajte si

Lineárna rovnica s neznámou $x$ je rovnosť dvoch výrazov, ktorú vieme upraviť na tvar

$a . x = b$ , kde

$a$ a

$b$ sú reálne čísla.

Riešenie lineárnej rovnice – koreň rovnice, je číslo

$x = \frac{b}{a}$ , pre

$a ≠ 0$ .
Ak

$a = 0$ a

$b ≠ 0$ , potom lineárna rovnica nemá riešenie.
Ak

$a = 0$ a

$b = 0$ potom má lineárna rovnica nekonečne veľa riešení.

Ekvivalentné úpravy rovníc:
K obidvom stranám rovnice môžeme pričítať ľubovoľné číslo alebo výraz – koreň rovnice sa nezmení.

Od oboch strán rovnice môžeme odčítať ľubovoľné číslo alebo výraz – koreň rovnice sa nezmení.

Obidve strany rovnice môžeme vydeliť ľubovoľným číslom rôznym od 0 – koreň rovnice sa nezmení.

Obidve strany rovnice môžeme vynásobiť ľubovoľným číslom rôznym od 0 – koreň rovnice sa nezmení.

$$ .$ $

Porovnanie a záver

Cieľom práce bolo zistiť rozdiely v učebniciach matematiky „Učebnica matematiky pre 7. ročník základných škôl“ od prof. Ondreja Šedivého a „Učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom", ktorej autorkou je dr. Viera Kolbaská na tému Lineárne rovnice na základnej škole. Z hľadiska didaktického spracovania daných učebníc je vhodnejšie spracovaná učebnica od autora prof. Ondreja Šedivého. Učebnica je viac praktickejšia, prehľadnejšia a výhodou je veľké množstvo rozmanitých úloh na precvičenie učiva. Obsahuje viac stručnejších definícii a zhrnutí, ktoré sú pre žiakov zrozumiteľnejšie. Úprave lineárnych rovníc je venovaná celá podkapitola. Pri vysvetľovaní sa využíva názorný model váh, čím si to žiaci lepšie predstavia. Rozvíja sa abstraktné myslenie žiakov.

Obr. 1: Učebnica matematiky, 7. ročník od prof. Ondreja Šedivého

Napriek tomu v učebnici matematiky pre deviaty ročník od dr. Kolbaskej je celému učivu Lineárne rovnice venovaná len jedna podkapitola. Text je písaný chaoticky, v dvoch stĺpcoch, nevieme, čo za čím nasleduje. Odporúčame, aby kvôli prehľadnosti boli úlohy písané za sebou a nie v dvoch stĺpcoch. Do tejto učebnice by bolo vhodné zaradiť viac úloh zameraných na utvrdzovanie učiva, pridať viac rozmanitých úloh primeraných veku žiakov.

Obr. 2: Učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom od dr. Viery Kolbaskej

V obidvoch učebniciach sa vyskytujú príklady s postupom riešenia, ktoré môžu viesť k lepšiemu pochopeniu preberanej látky aj bez výkladu učiteľa. Výhodou obidvoch učebníc je súhrn cvičení na konci tematického celku, vďaka ktorému si žiaci môžu precvičiť danú tému.
Je dobré, aby sme sa zo štýlu, akým sú písané obidve učebnice matematiky, snažili poučiť a môžu taktiež slúžiť ako dobrý pomocný materiál pre akéhokoľvek učiteľa. Práca preto môže slúžiť ako pomocný materiál pri výbere správnej učebnice pre žiakov a taktiež pri hľadaní doplňujúcich cvičení.

Literatúra

[BLA] BLAHUŠIAKOVÁ, N. 2022. Pracovný list ako didaktická pomôcka pri vyučovaní matematiky: bakalárska práca. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2022. 61 s.
[GER] GERGELITSOVÁ, Š. Počítač ve výuce nejen geometrie. Pruvodce Geogebrou. Praha: Generation Europe, 2011, 256 s.
[HAN] Hanzel, P.: Vytvorenie elektronického kurzu v LMS MOODLE . Banská Bystrica, Univerzita Mateja Bela, 2011. Dostupné Tu.
[KOL] Kolbaská, V.: Učebnica matematiky 2. časť pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Vydavateľstvo MŠ SR, 2014. EAN: 9788010022922. Dostupné Tu.
[LAS] LÁSZLÓ, K. - OSVALDOVÁ, Z.: Didaktika. Banská Bystrica: Belianum, 2014. 162 s. ISBN 978-80-557-0690-0.
[NOV] Novacká, G.: Softvér GeoGebra na hodinách matematiky. MPC Bratislva 2011. Dostupné Tu.
[PET] PETLÁK, E.: Všeobecná didaktika. 1. vyd. Bratislava: IRIS, 1997. 270 s. ISBN 80-88778-49-2.
[SED] Šedivý, O. a kol.: Matematika pre 7. ročník základných škôl, 2. časť. Vydavateľstvo SPN, 2000. ISBN 80-08-02680-4.
[TUR] TUREK, I.: Didaktika, IURA edition, 2008, 595 s., ISBN 8080781989.

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Blahušiaková, N.: Komparácia a elektronické spracovanie učebníc matematiky

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 9 mája 2024, 08:50