Mladý prírodovedec

Dynamický matematický program GeoGebra, ktorý spája geometriu, algebru a kalkulátor do jedného celku.

Názov GeoGebra vznikol spojením Geometria – Algebra, z čoho vyplýva aj charakter tohto softvéru.
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov ale aj na algebraické výpočty. Program si stiahnite zo stránky https://www.geogebra.org/download ¹⁾.

Príklad
Otvorte si výkres Tu a nakreslite voľnou rukou pomocou nástrojaniektoré geometrické útvary: body, priamky, ...

Základným didaktickým poslaním programu GeoGebra vo vyučovaní geometrie pri rysovaní rovinných útvarov je

• zjednodušenie manipulačnej činnosti
• dosiahnutie vyššej presnosti
• umožnenie dynamickosti a interaktívnosti narysovaných útvarov

Pri rysovaní útvarov najčastejšie používame tri pomôcky:

1. ceruzku resp. špeciálne rysovacie pero
2. pravítko
3. kružidlo

Euklidovská konštrukcia sa nazýva grafická konštrukcia v rovine, ktorú je možné realizovať

1. ideálnym pravítkom (bez rysky a bez meradla) a ideálnym kružidlom
2. konečným počtom krokov
3. každý krok je elementárna konštrukcia buď na zostrojenie
1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi; alebo
2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom; alebo
3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).

Elementárne euklidovské konštrukcie

1. Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Euklidovo tvrdenie, Kniha 1,T/I
2. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Konštrukcia prenášania úsečky Tu.
3. Zostrojenie stredu danej úsečky.
4. Zostrojenie osi úsečky, osi daného uhla.
5. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.

Pri prvých pokusoch práce s programom GeoGebra je z didaktického hľadiska vhodné začať:

1. s editáciou a formátovaním základného kameňa budovania euklidovskej roviny a to je bod
2. pracovať v prednastavenom výkrese, v ktorom budú k dispozícii len základné nástroje: bod + priesečník; priamka + úsečka; kružnica určená stredom a polomerom + kružnica určená stredom a jej bodom.
Otvorte si takýto výkres Tu.

Po otvorení prednastaveného výkresu (otvorte si výkres Tu) sa objaví čistý výkres, v ktorom sú zobrazené

1. v záhlaví karty pre prácu so súborom - základné Menu
2. nástroje/ikonky pre narysovanie geometrických útvarov bod, priamka, kružnica.

Poznámky

1. Bod je znázornený ako "krúžok" ale môže byť znázornený pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly $\times,+, \diamond$.
   
2. Priamka je určená práve dvoma rôznymi bodmi. 
   
3. V prípade, že chcete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok) stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť 

Príklad.
Zostrojte

1. Dva rôzne body $A,B$ a vytvorte rôzne formátovanie týchto bodov.
2. Zostrojte trojuholník $ABC$, ak poznáte dĺžky strán $c=AB, b= \frac{4}{5}c , a= \frac{3}{5} c$.
   

                  .

Komentár k riešeniu

1. Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu.
2. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
   
• zostrojenie bodov $A,B$ pomocou nástroja "Bod";
• zostrojenie úsečky $A,B$ s danou dĺžkou $c=AB$
• zostrojenie kružníc $k_1=(A, b), k_2=(B,a)$ a ich priesečníka $C$ .

Úlohy.

1. Zostrojte stredy strán trojuholníka $ABC$ z predchádzajúceho príkladu. Pospájajte tieto stredy úsečkami a odmerajte ich dĺžky pomocou nástroja "Vzdialenosť".
2. Otvorte si nový výkres pomocou menu (Súbor → Nový). Nakreslite si nový ľubovoľný trojuholník $KLM$. Opäť zostrojte stredy strán tohto trojuholníka a pospájajte ich úsečkami s protiľahlými vrcholmi.
        Nájdite priesečník týchto úsečiek a označte ho písmenom $T$.
        Posúvajte vrcholy $K,L,M$ a pozorujte, čo sa deje s priesečníkom $T$.

Množiny bodov danej vlastnosti je množina bodov, pričom každý bod tejto množiny spĺňa určitú vlastnosť. Túto vlastnosť nazývame charakteristická vlastnosť bodov tejto množiny.

Známe množiny bodov danej vlastnosti .

1. Množina bodov, ktoré sú od daného bodu $\small S$ vzdialené o dĺžku $r$, sa nazýva kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$.
    Rôzne prevody na bicykli Tu
   By Unknown author - Le Centaure magazine (Paris), Sept. 186 8, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7379727
   ...
2. Množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od dvoch pevných bodov $\small A,B$ sa nazýva os úsečky $\small AB$.
   ...

...

Padajúci rebrík
Rebrík opretý o stenu ak stojí na hladkej podlahe sa veľmi ľahko skĺzne dole - spadne.

Po akej krivke sa pri tomto páde bude pohybovať mačka sediaca uprostred rebríka. Odpoveď nájdete Tu.

V geometrii je hypocykloid špeciálna rovinná krivka generovaná stopou pevného bodu na malom kruhu, ktorý sa valí vo väčšom kruhu. Ako sa polomer väčšieho kruhu zvyšuje, hypocykloid sa stáva viac ako cykloid vytvorený valcovaním kruhu na čiare. Pozri Wiki.

 

Určte množinu polôh priesečníka výšok (ortocentra) trojuholníka $ABC$ , ak jeho vrchol $C$ sa pohybuje po priamke $p$ rovnobežnej s $AB$ . Zadanie Tu
Uvažujte aj iné trajektórie bodu $C$ T1 T2.

Žeriavnik, ktorý vie kresliť. Applet si otvorte Tu.

Nastavte parametre $w_1,w_2,w_3$ tak, aby výsledné kresby žeriavnika boli takéto obrázky.

Aristotelov paradox kolesa je paradox alebo problém, ktorý sa pripisuje Aristotelovi. Uvádza sa takto:

Koleso je zobrazené v dvojrozmernom priestore ako dva kruhy.

1. Vonkajší kruh sa pohybuje po pevnej podložke (napr. to môže byť cesta, po ktorej sa koleso kotúľa - valí).
2. Menší kruh (vnútorný) má rovnaký stred a je pevne pripevnený k väčšiemu.

Poznámky.

1. Menším kruhom by mohla byť ráfik (disk) pneumatiky, na ktorom je pneumatika namontovaná.
2. Predpokladajme, že väčší kruh sa valí bez pošmyknutia (šmyku) počas jednej otáčky
3. Vzdialenosti $\small AC$ a $\small BD$budú zrejme rovnaké. 
4. Ale podľa matematiky musí byť: 
   • Vzdialenosť prejdená väčším kruhom bude rovná jeho obvodu $2 \pi R$
   • Vzdialenosť menšieho kruhu bude tiež rovná jeho obvodu $2 \pi r$, ale to je menšie číslo.
5. Tým vytvára paradox.
   

Pozrite si názornú konštrukciu.

Otvorte si konštrukciu Tu.
Pozrite si aj iné konštrukcie: Konštrukcia valiaceho štvorca Tu a valiaceho trojuholníka Tu.
Takéto krivky sa nazývajú Cyklogóny - pozrite si Wikipédiu Tu.

V applete môžete nastavovať čas s presnosťou na sekundy

Použitím posuvníkov môžete meniť čas po sekundách. Aktivovaním zaškrtávacích políčok môžete merať uhly a posúvaním bodu "Otáčaj" budete môcť otáčať uhlomerom.

Cvičenie.
Pokúste sa nastaviť hodiny tak, aby hodinová ručička s minútovou ručičkou zvierali presne $120^\circ$ uhol. Nájdite viac (všetky?) riešenia.

Poznámky.

1. Napríklad pre 4 hod alebo pre 6 hod 54 min 36 sek bude uhol rovný 120°.
2. Iné ukážky pre tematický celok uhol: odhad veľkosti uhla → meranie uhla →

Konštrukčná úloha
Zostrojte rovnoramenný lichobežník $ABCD$, ak poznáte dĺžky základní $a, c$  a veľkosť vnútorného uhla $\alpha$. [Pozri →] Popis konštrukcie:

1. $AB; |AB| = a$
2. $S;$ - stred $AB$
3. $P; P \in \vec{SA} , |SP| = c/2$
4. $p; P \in p, p \perp AB$
5. $\vec{AX}; |\angle BAX| = \alpha$
6. $D; D \in p \cap \vec{AX}$
7. $q; D \in q, q \parallel AB$
8. $C; C \in q, |DC| = c, |DS| = |CS|$
9. štvoruholník $ABCD$ .
Otvorte si zadanie Tu

Sústava dvoch rovníc.
Grafickou metódou v programe GeoGebra vyriešte sústavu dvoch rovníc: lineárnej a kvadratickej.
.
Otvorte si zadanie Tu a otvorte si postup konštrukcie (jednotlivé konštrukčné kroky) Tu

Množiny bodov danej vlastnosti

1. Vytvorte konštrukciu, ktorá bude generovať množinu vytvorenú stopou pevného bodu $M$ na malom kruhu (modrý kruh), ktorý sa valí vo väčšom kruhu (čierna farba). Pri konštrukcii využite skutočnosť, že dĺžka oblúka $AB$ je rovná dĺžke oblúka $BM$ . Dĺžky vyjadrite v oblúkovej miere. Názov tejto krivky je "Hypocycloid", pozri Wiki.
Otvorte si zadanie Tu.
.
2. Určte množinu polôh ortocentra trojuholníka $ABC$ , ak jeho vrchol $C$ sa pohybuje po priamke $p$ rovnobežnej s $AB$ . Uvažujte aj iné trajektórie bodu $C$ . . 
   Otvorte si zadanie Tu.

Dynamický bod.
Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií tangens, kotangens.
Zároveň zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií. Pozrite si ukážku Tu →