Polohové stereometrické úlohy - rezy

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Planimetria a stereometria
Kniha:	Polohové stereometrické úlohy - rezy

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	sobota, 27 apríla 2024, 00:30

Opis

PSU

Obsah

Polohové konštrukčné úlohy
Rezy telesa rovinou
Cvičenie

Polohové konštrukčné úlohy

Polohové konštrukčné úlohy v $E_3$ možno rozdeliť na štyri základné typy

rez telesa rovinou
prienik priamky s rovinou
prienik priamky s telesom
zostrojiť priečku, resp. os, dvoch mimobežiek

Rezom telesa

$T$ (kocky, hranola, kvádra, ihlanu, …) rovinou

$\rho$ rozumieme prienik roviny

$\rho$ a telesa

$T$ .
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny

$\rho$ so stenami telesa

$T$ .
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.

V applete môžete pohybovať bodmi rezu

$P, Q, R$ . Otvorte si applet Tu. ...

$$ .$ $

Rezy telesa rovinou

Najčastejšie používané metódy pri rezoch telesa rovinou

$\rho = KLM$

Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.

Nech dva body

$K, L$ ležia v stene

$ABCD$ daného telesa.
Priamka určená bodmi

$K, L$ pretína priamky určené stranami štvoruholníka

$ABCD$ , ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka

$K, L$ na obrázku pretína priamky určené stranami

$BC, AD$ v bodoch

$1, 2$ .

Metóda rovnobežnosti
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.

Nech dva body rezu

$M, L$ ležia stene

$ADHE$ telesa a bod rezu

$K$ leží v rovnobežnej stene

$BCGH$ .
Priamka rezu prechádzajúca bodom

$K$ pretína priamky steny

$BCGF$ v bodoch

$1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF$ .

Metóda osovej afinity
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.

Nech dva body rezu $K, L$ ležia v podstave $ABCD$ a bod rezu $M$ leží na hrane $AE$ .
Osová afinita medzi rovinou rezu $\rho$ a podstavou $ABCD$ je daná osou $KL$ a smerom $MM_1, M_1=A$ .
Priamka $AB$ je obrazom priamky rezu prechádzajúcou bodom $M$ , ktorá pretína os afinity v samodružnom bode $1$ .
Bodom rezu je teda bod $2$ ležiaci na spojnici $M1$ , pričom $B2 ∥ M_1M$ .
Metóda stredovej kolineácie
Túto metódu používame pri rezoch ihlanov a kužeľov. Základné vlastnosti stredovej kolineácie sú: samodružnosť bodov na osi kolineácie a odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi.

$$ .$ $

Metóda spájania a rovnobežnosti

Metóda spájania
Zostrojte rez kocky

$\small ABCDEFGH$ rovinou

$\small \alpha = PQR$ , ak

$\small P ∈ BC, Q ∈ FG, R ∈ EF$ .

Metóda rovnobežnosti a spájania
Zostrojte rez kocky

$\small ABCDEFGH$ rovinou

$\small \rho = KLM$ , ak

$\small K ∈ BC, L ∈ EH, M ∈ AE$ .

Predchádzajúce dve úlohy vyriešte v 3D formáte - model kocky si otvorte Tu. Potom vo VRP, model hranola si otvorte Tu. Spájanie -

$\small P ∈ FE, Q ∈ AB, R ∈ FG$ ; rovnobežnosť -

$\small P ∈ DH, Q ∈ DA, R ∈ FG$

Poznámky

Body $L,M$ ležia v stene $ADHE$ a priamka $LM$ , ktorá je nimi určená, tiež leží v tejto stene.
Bod $K$ leží v stene $BCFG$ , ktorá je rovnobežná s $ADHE$ . Priamka rezu prechádzajúca bodom $K$ musí byť rovnobežná s $LM$
Priesečníky $1, 2$ s priamkami $BF,CG$ sú bodmi rezu. Priamka $M1$ je priamkou rezu, jej priesečník $3$ s $AB$ je bodom rezu.
Priamka $L4$ je rovnobežka s priamkou $K3$ . Bod rezu $4$ je možné zostrojiť aj pomocou bodu $5$ .

Kontrola presnosti riešenia:

Body $1, K, 2, 5$ musia ležať na jednej priamke aj pri zmene polohy bodov $K,L,M$ .
Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany rovnobežné
Napr. $ML ∥ K2, 24 ∥ M3$ bude platiť aj pri zmene polohy bodov $K,L,M$ . Pohybujte s nimi.

Program GeoGebra umožňuje zostrojiť rez telesa rovinou priamo pomocou nástroja Prienik dvoch plôch

$$ .$ $

Metóda osovej afinity

Zostrojte rez hranola.

$ABCDEFGH$ rovinou

$ρ = KLM$ , ak bod

$K$ leží na priamke

$CB$ , bod

$L$ na priamke

$DC$ a

$M ∈ AE$ .

Komentár k riešeniu

Body $K,L$ ležia v podstave $ABCD$ , preto priamku $Kl$ môžeme považovať za os afinity.
Bod $M$ leží na hrane $AE$ , preto bod $A$ môžeme považovať za jeho obraz v osovej afinite medzi rovinou rezu a podstavou ABCD.
Priesečník $1$ s priamkou $AB$ je bodom rezu. Priamka $M1$ je priamkou rezu, jej priesečník $2$ s $BF$ je bodom rezu.
Podobne pomocou osovej afinity zostrojíme bod rezu $3$ . Bod $4$ leží na rovnobežke s $M1$ .

Kontrola presnosti riešenia

Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany navzájom rovnobežné. Zmenou polohy bodu K môžu vzniknúť trojuholník až šesťuholník.
V tomto applete je možné nastaviť polohu bodov $K,L$ tak, aby rezom bol trojuholník, rovnobežník, lichobežník aj päťuholník.

$$ .$ $

Metóda stredovej kolineácie

Zostrojte rez ihlana

$ABCDV$ rovinou

$ρ = KLM$ , ak bod

$K ∈ DV$ a body

$L, M$ sú bodmi podstavy

$ABCD$ .

...

Komentár k riešeniu

Body $L, M$ ležia v podstave $ABCD$ , preto priamku $LM$ môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
Bod $K$ leží na hrane $DV$ , bod $K$ sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu $D$ .
Bod $1$ je priesečník $DA$ s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod $2$ je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu $A$ .
Priama $DB$ má samodružný bod $3$ . Bod rezu $4$ , ktorý sa zobrazí do bodu $B$ . Podobne využijeme bod $5$ .

Presnosť riešenia

Odpovedajúce priamky sa musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
Rezom je mnohouholník. Vo väčšine prípadoch protiľahlé strany nie sú rovnobežné. Pohybujte s bodmi $K, L, M$ .

$$ .$ $

Rez telesa - demo

Prezentácia: rez hranola - zadanie; postup konštrukcie

r

Cvičenie

Cvičenie.

Zostrojte rez telesa rovinou $\small KLM$ . Riešte úlohy
- $9s \rightarrow 9x, 11,12,14$
- výberové $9ae \rightarrow 9aj, 15,16,17$ za každú vyriešenú výberovú úlohu 1 plusový bod
zo zbierky Tu.
Výberové úlohy riešte vo VRP, pričom je nutné zapísať aj postup riešenia v TeX formáte. Stiahnite si repér pre VRP Tu.
Z výberových úloh môžete odovzdať maximálne 3 riešenia, čím môžete získať až 3 plusové body.
Zostrojte rez kocky $ABCDEFGH$ rovinou $KLM$ , ak:

$K∈\vec{FE}, L∈\vec{FB}, M∈\vec{DC}$ , použite metódu spájania. Zadanie →
$K∈AD, L∈FG, M∈GH$ , použite metódu rovnobežnosti. Zadanie →
$K∈BF, L∈CG, M∈AD$ , použite kombinovanú metódu spájania a rovnobežnosti. Zadanie →
$K∈AE, L∈CD, M∈FG$ , použite osovú afinitu. Zadanie →
$K∈\vec{EH} ∧ H∈EK, L∈\vec{FB} ∧ B∈FL, M∈ \vec{DC} ∧ C∈DM$ Body $K,L,M$ ležia na mimobežkách. Zadanie →
$K∈EH, L∈CD, M∈ \vec{BA} ∧ A∈MB$

Zostrojte rez kocky $ABCDEFGH$ rovinou $PQR$ . Zadanie →

* Mnohosten $ABCDE$ má steny $ABC, ACD, BCE, CDE, ABED$ . Trojuholník $ABC$ je rovnostranný a jeho strany majú dĺžku $a$ . Päty kolmíc, ktoré prechádzajú vrcholmi $D, E$ na rovinu $ABC$ sú stredmi úsečiek $AC, BC$ . Priamka $DE$ je rovnobežná s rovinou $ABC$ a leží vo vzdialenosti $(a-2)$ . Zadanie

Narysujte tento mnohosten v GeoGebre a vytvorte jeho sieť.
Zostrojte kolmicu $k$ vedenú bodom $C$ na stenu $ABED$
Zostrojte skutočnú veľkosť úsečky $CC_0$ , kde $C_0$ je päta kolmice $k$ .
Vypočítajte povrch a objem mnohostena $ABCDE$ ABCDE.

Prevzaté zo: Stredoslovenský korešpondenčný matematický seminár pre stredné školy 1979-1990, história a výber úloh s riešeniami. →

Je daný rovnobežnosten s podstavou pravidelného šesťuholníka. Zostrojte rez rovinou $PQR$ , kde $P=D$ , $Q \in EE_1$ , $R \in A_1B_1$ . →
Zostrojte rez štvorstena $ABCD$ rovinou $KLM$ , kde $K$ leží v rovine trojuholníka $ACD$ , $L$ leží na $BC$ a $M$ leží na výške ihlana. → .

Zdroje 1.a až 1.e: Polák, J.: Didaktika matematiky. Str. 326. r

$$ .$ $