Polohové stereometrické úlohy - rezy
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Planimetria a stereometria |
Kniha: | Polohové stereometrické úlohy - rezy |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 12:30 |
Opis
PSU
Polohové konštrukčné úlohy
- rez telesa rovinou
- prienik priamky s rovinou
- prienik priamky s telesom
- zostrojiť priečku, resp. os, dvoch mimobežiek
Rezom telesa
(kocky, hranola, kvádra, ihlanu, …) rovinou
rozumieme prienik roviny
a telesa
.
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny
so stenami telesa
.
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5311b5f620750279a64c870af344aea8.png)
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
Rezy telesa rovinou
- Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine. - Metóda rovnobežnosti
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach. - Metóda osovej afinity
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
- Metóda stredovej kolineácie
Túto metódu používame pri rezoch ihlanov a kužeľov. Základné vlastnosti stredovej kolineácie sú: samodružnosť bodov na osi kolineácie a odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi.
Nech dva body
ležia v stene
daného telesa.
Priamka určená bodmi
pretína priamky určené stranami štvoruholníka
, ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka
na obrázku pretína priamky určené stranami
v bodoch
.
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
Priamka určená bodmi
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
Napríklad priamka
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![BC, AD BC, AD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91a0620d4a1c74491c817b3b1b45d064.png)
![1, 2 1, 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92963defdbac8bd4a8b7a2cefacc9a9d.png)
Nech dva body rezu
ležia stene
telesa a bod rezu
leží v rovnobežnej stene
.
Priamka rezu prechádzajúca bodom
pretína priamky steny
v bodoch
.
![M, L M, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40d97f55887194760dcdefd078693536.png)
![ADHE ADHE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b3f1f5fd601f71893093f152f639c58.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![BCGH BCGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fb42c54ecdaec0a7c1e65cadaa7e368b.png)
Priamka rezu prechádzajúca bodom
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![BCGF BCGF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c2262011b30b6b59a93cf2a5f8c5060.png)
![1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF 1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d3edf07f9e86e9b893b1d0515ba299e.png)
Metóda spájania a rovnobežnosti
Predchádzajúce dve úlohy vyriešte v 3D formáte - model kocky si otvorte Tu.
Potom vo VRP, model hranola si otvorte Tu.
Spájanie -
; rovnobežnosť -
![\small P ∈ FE, Q ∈ AB, R ∈ FG \small P ∈ FE, Q ∈ AB, R ∈ FG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8bb1f72e10590bb557dbadec742d1cc5.png)
![\small P ∈ DH, Q ∈ DA, R ∈ FG \small P ∈ DH, Q ∈ DA, R ∈ FG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ea0203780610f5cc369d451ad631f46.png)
Poznámky
- Body
ležia v stene
a priamka
, ktorá je nimi určená, tiež leží v tejto stene.
-
Bod
leží v stene
, ktorá je rovnobežná s
. Priamka rezu prechádzajúca bodom
musí byť rovnobežná s
-
Priesečníky
s priamkami
sú bodmi rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
-
Priamka
je rovnobežka s priamkou
. Bod rezu
je možné zostrojiť aj pomocou bodu
.
-
Body
musia ležať na jednej priamke aj pri zmene polohy bodov
.
- Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany rovnobežné
-
Napr.
bude platiť aj pri zmene polohy bodov
. Pohybujte s nimi.
Metóda osovej afinity
Komentár k riešeniu
-
Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os afinity.
-
Bod
leží na hrane
, preto bod
môžeme považovať za jeho obraz v osovej afinite medzi rovinou rezu a podstavou ABCD.
-
Priesečník
s priamkou
je bodom rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
-
Podobne pomocou osovej afinity zostrojíme bod rezu
. Bod
leží na rovnobežke s
.
Metóda stredovej kolineácie
...
Komentár k riešeniu
- Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
-
Bod
leží na hrane
, bod
sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu
.
- Bod
je priesečník
s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod
je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu
.
-
Priama
má samodružný bod
. Bod rezu
, ktorý sa zobrazí do bodu
. Podobne využijeme bod
.
Rez telesa - demo
Prezentácia: rez hranola - zadanie; postup konštrukcier
Cvičenie
Cvičenie.
- Zostrojte rez telesa rovinou
. Riešte úlohy zo zbierky Tu.
Výberové úlohy riešte vo VRP, pričom je nutné zapísať aj postup riešenia v TeX formáte. Stiahnite si repér pre VRP Tu.
Z výberových úloh môžete odovzdať maximálne 3 riešenia, čím môžete získať až 3 plusové body. -
Zostrojte rez kocky
rovinou
, ak:
, použite metódu spájania. Zadanie →
, použite metódu rovnobežnosti. Zadanie →
, použite kombinovanú metódu spájania a rovnobežnosti. Zadanie →
, použite osovú afinitu. Zadanie →
Body
ležia na mimobežkách. Zadanie →
- Zostrojte rez kocky
rovinou
. Zadanie →
-
*
Mnohosten
má steny
. Trojuholník
je rovnostranný a jeho strany majú dĺžku
. Päty kolmíc, ktoré prechádzajú vrcholmi
na rovinu
sú stredmi úsečiek
. Priamka
je rovnobežná s rovinou
a leží vo vzdialenosti
. Zadanie
- Narysujte tento mnohosten v GeoGebre a vytvorte jeho sieť.
- Zostrojte kolmicu
vedenú bodom
na stenu
- Zostrojte skutočnú veľkosť úsečky
, kde
je päta kolmice
.
- Vypočítajte povrch a objem mnohostena
ABCDE.
- Je daný rovnobežnosten s podstavou pravidelného šesťuholníka. Zostrojte rez rovinou
, kde
,
,
. →
- Zostrojte rez štvorstena
rovinou
, kde
leží v rovine trojuholníka
,
leží na
a
leží na výške ihlana. → .
Zdroje 1.a až 1.e: Polák, J.: Didaktika matematiky. Str. 326. r