Vedecké poznávanie vo vyučovaní matematiky
Problémy s mocninami s reálnym exponentom
Definícia (Mocnina s prirodzeným exponentom).
Pre každé reálne číslo
a prirodzené číslo
je:
Zápis
čítame "
-tá mocnina čísla
". Číslo
nazývame základ mocniny, číslo
nazývame exponent .
Pre každé reálne číslo
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![a^n a^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8aebb8a9a61679f7437b64b767644535.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
Cvičenie.
Pozrite si stránku Online kalkulačka rovníc, nerovníc a systémov.
Pozrite si stránku Online kalkulačka rovníc, nerovníc a systémov.
Vlastnosti.
-
Pre mocninu
s exponentom
, ktorým je záporné celé číslo platí: ( a^n= \frac{1}{a^ {-n}} \).
-
Nech
je kladné reálne číslo a nech
je racionálny exponent, kde
je celé číslo a
je kladné celé číslo. Potom je možné robiť úpravy typu
-
Pre
záporné reálne číslo a racionálny exponent
, nie je možné použiť predchádzajúcu úpravu. Pozri cvičenie 2.
Definícia (Binomická rovnica).
Binomická rovnica s neznámou
je rovnica v tvare
, kde
je prirodzené číslo a
sú komplexné čísla.
Binomická rovnica s neznámou
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![a \cdot x^n+b=0 a \cdot x^n+b=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba7f5bff476dbce9c5899d962103547e.png)
![n>1 n>1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcc3b10303cf1bf8a15c9913ae787001.png)
![a \neq 0 ,b a \neq 0 ,b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8aa4e76b71268e226a382951ae33d3e6.png)
Základná veta algebry hovorí, že každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň.
Diskusia k riešeniu binomických rovníc
.
Zo základnej vety algebry vyplýva, že táto rovnica má práve
riešení v obore komplexných čísel (medzi nimi môžu byť aj násobné korene).
Každú binomickú rovnicu môžeme upraviť na normovaný tvar
. My sa budeme venovať len binomickým rovniciam, v ktorých
je reálne číslo. Naviac sa zameriame na riešenie rovníc
, v ktorých exponent
je racionálne číslo.
V tomto prípade rovnicu
najskôr transformujeme na normovaný tvar
. Takáto transformácia nie je ekvivalentnou
úpravou, preto je v závere nutné urobiť skúšku správnosti riešenia. O riešení binomických rovníc odporúčame prácu "Komplexní čísla", ktorá je dostupná
Tu.
K praktickému riešeniu môžete využiť online kalkulačku rovníc "MathDF" dostupnú Tu.
Diskusia k riešeniu binomických rovníc
![a \cdot x^n+b=0 a \cdot x^n+b=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba7f5bff476dbce9c5899d962103547e.png)
Zo základnej vety algebry vyplýva, že táto rovnica má práve
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
Každú binomickú rovnicu môžeme upraviť na normovaný tvar
![x^n=c x^n=c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cbe926f8e554f9ff110f18f698f526f.png)
![c c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b8412805efd6ae2233444f7704e9684.png)
![x^{\frac{r}{s}} =c x^{\frac{r}{s}} =c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bc745b048f569acb34d9914ee033d4f.png)
![n= \frac{r}{s} n= \frac{r}{s}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c138900255ab53c95ffe8f7400259ee.png)
![x^{\frac{r}{s}} =c x^{\frac{r}{s}} =c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bc745b048f569acb34d9914ee033d4f.png)
![x^r =c^s x^r =c^s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ed25f75938118ea808c547fd6c5503d.png)
- Riešenie prvej rovnice
z prvého cvičenia po transformácii na
s využitím online kalkulačky:
.
- Riešením druhej rovnice
z prvého cvičenia po transformácii na
Cvičenie.
Vyriešte rovnicu
v obore komplexných čísel.
Návod:
Vyjadrite hľadané riešenie
v goniometrickom tvare
alebo použite vzťah
.
Vyriešte rovnicu
![x^3=1 x^3=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c9980ea7fbdc98b12660610871c55f6d.png)
Návod:
Vyjadrite hľadané riešenie
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![z=|z|(\cos\alpha + i \sin\alpha ) z=|z|(\cos\alpha + i \sin\alpha )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb157ae09860670f6dedf913329def13.png)
![x^n-1=(x-1) (x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +1 ) x^n-1=(x-1) (x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +1 )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e821b670ec438afbfb2a3b61c8994c32.png)
Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá "zostrojí" reálne číslo, bude vychádzať z "rezov" na množine racionálnych čísel. Pozrite si kurz Aritmetika Tu.
Konštrukcia, ktorá "zostrojí" reálne číslo, bude vychádzať z "rezov" na množine racionálnych čísel. Pozrite si kurz Aritmetika Tu.
- Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
-
Viac ako dve tisíc rokov sú známe niektoré iracionálne čísla, ktoré sú vyjadrené ako odmocniny (mocniny s racionálnym exponentom) prirodzených čísel
...
-
Euler (1737) dokázal, že číslo
je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo
je iracionálne.
- Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo
je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.
Poznámky.
-
Zo strednej školy si možno pamätáte, že
má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.
- dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr.
- na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier
- vyjadriť
konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
- existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje
s danou presnosťou.
- Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch.
- Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu
.
- V nasledujúcich kapitolách popíšeme Dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.