Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice

Pri riešení rovníc a nerovníc v školskej matematike sa žiaci stretávajú predovšetkým s implikačnými a ekvivalentnými metódami riešenia. Implikačná úprava sa nazýva aj dôsledková úprava. V niektorých prípadoch sa pri riešení s výhodou použije aj experimentovanie. Ide predovšetkým o prípady, keď výroková forma vystupujúca v nerovnici nemá charakter kvadratickej (lineárnej) formy. Napríklad v úlohe:

Úloha
V množine $\mathcal N= \lbrace{1,2,...,n,...}\rbrace$ riešte nerovnicu $n!>n^{n-2}$.

Riešenie
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla $n=1,2,...4,5, ...$. Ľahko zistíme, že čísla 2,3,4 vyhovujú danej nerovnici (sú jej riešením) a čísla $n>6$ nie sú riešením v množine $\small M$. Využitím programov GeoGebra a Excel môžeme experimentálne overiť toto tvrdenie na dostatočne veľkom počte prirodzených čísel.

Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu

Nerovnica

1. Nerovnica je úloha, v ktorej treba nájsť všetky prvky $x \in \mathcal {O}$ spĺňajúce nerovnosť $\small Ľ(x) \leq P(x)$. Množinu $\mathcal {O}$ nazývame obor nerovnice.
2. Výraz $\small Ľ(x))$ nazývame ľavá strana nerovnice, výraz$\small P(x)$ nazývame pravá strana nerovnice.
3. Definičný obor nerovnice $\mathcal {D}$ je podmnožina množiny $\mathcal {O}$, v ktorej majú všetky výrazy v nerovnici zmysel.
4. Množina riešení $\mathcal {K}$ je množina všetkých tých prvkov množiny $\mathcal {D}$, ktoré spĺňajú danú nerovnosť.

Ekvivalentné úpravy nerovníc

1. Nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej na celej množine $\mathcal {D}$ rovná.
2. Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný v celom definičnom obore nerovnice $\mathcal {D}$, k obidvom stranám nerovnice.
3. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom obore nerovnice $\mathcal {O}$ nadobúda kladné hodnoty. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom definičnom obore nerovnice $\mathcal {O}$ nadobúda záporné hodnoty a súčasne obrátenie znaku nerovnosti.
4. Umocnenie resp. odmocnenie obidvoch strán nerovnice na druhú, štvrtú atď., ak obidve strany nerovnice nadobúdajú v celom definičnom obore nerovnice nezáporné hodnoty..
5. Nepárne umocnenie a odmocnenie oboch strán nerovnice.

___________________________________________________________________________
1) $\mathcal {O}$ je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť; pre naše účely bude to množinam reálnych čísel