Projektívny priestor a kužeľosečky

Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [BILL], kapitola 2.1.Kružnica a zväzky kružníc.

Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [MON], kapitola 7.1. KRUŽNICA.
Pokúste sa afinné riešenia niektorých úloh transformovať na projektívne homogénne rovnice.

1. Úloha 7.1.1. Zistite, ktorá z rovníc je rovnicou kružnice
   1. $\small 2x^2+2y^2+5x-4y+6 = 0$
   2. $\small x^2+y^2+x = 0$
   3. $\small x^2+y^2+4x-6y- 10 = 0$
   4. $\small x^2+y^2+6x+4y+20 = 0$
   V prípade, že ide o rovnicu kružnice, zistite jej stred a polomer.
2. Úloha 7.1.2. Dokážte, že $\small\;3x_1^2 + 3x_2^2 - 12x_1 + 4x_2 + 12 = 0\;$ je rovnica kružnice. Určte jej stred a polomer.
3. Úloha 7.1.3. Rozhodnite, ktorý z bodov $\small A[4;3],\; B[1;-2],\; C[3+2\sqrt{3};0],\; D[2;-3]$ leží vo vnútri, zvonku alebo na kružnici $k$. Potom situáciu znázornite.
4. Úloha 7.1.4. Určte reálne číslo $\small a$, tak aby priamka $\small t$ bola dotyčnicou kružnice $\small k$. Určte súradnice dotykového bodu.
   $\small t:\; 2x - y + a = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0.$
5. Úloha 7.1.5. Určte podmienky pre reálne číslo $\small c$, aby priamka $\small p$ bola sečnicou kružnice $\small k$. Potom narysujte úlohu pre vhodne zvolené $\small c$. 
   $\small p:\; 3x - 2y + c = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 6x - 8y + 5 = 0.$
6. Úloha 7.1.6. Určte podmienky pre $\small s\in\mathbb{R}$, tak aby priamka $\small p$ bola a) sečnicou, b) dotyčnicou kružnice $\small k$.
   $\small p:\; 2x_1 - 3x_2 + s = 0; \qquad k:\; x_1^2 + x_2^2 - 8x_1 - 10x_2 + 28 = 0.$
7. Úloha 7.1.7. Určte prienik kružnice $\small k$ a priamky $\small p$.
   $\small k:\; x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0; \qquad p:\; x - y = 0.$
8. Úloha 7.1.8. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi $\small A, B$ a jej stred leží na priamke $\small p$.
   1. $\small A[-2;3],\; B[3;1],\; p:\; x - 3y - 3 = 0.$
   2. $\small A[1;3],\; B[-3;1],\; p:\; 2x - y - 8 = 0.$
9. Úloha 7.1.9. Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi $\small A,B,C$. Určte aj jej stred a polomer. Potom situáciu narysujte.
   1. $\small A[1;1],\; B[1;-1],\; C[2;0].$
   2. $\small A[-1;5],\; B[-2;-2],\; C[5;5].$
10. Úloha 7.1.10. Určte prienik kružnice $k$ a priamky $\small p$ v závislosti od parametra $\small d$.
    $\small k:\; (x+3)^2 + (y-5)^2 = 16; \qquad p:\; 3x + 2y + d = 0.$
11. Úloha 7.1.11. Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží priemer kružnice $\small k$ kolmý na priamku $\small p$.
    $\small k:\; x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0; \qquad p:\; 5x + 2y - 13 = 0.$
12. Úloha 7.1.12. Určte stred $\small S$ a polomer $\small r$ kružnice, ktorá sa dotýka osí $\small x$ a $\small y$ a prechádza bodom $A[4;2]$.
13. Úloha 7.1.13. Napíšte rovnicu kružnice vpísanej do trojuholníka $\small ABC$:
    $\small A\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},\tfrac{7}{2}\right],\; B[0;1],\; C\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},-\tfrac{3}{2}\right].$
14. Úloha 7.1.14. Napíšte rovnicu kružnice prechádzajúcej bodmi $\small K,L$ a dotýkajúcej sa osi $\small y$:
    $\small K[2;2],\; L\bigl[6;\;2\sqrt2+2\bigr].$
15. Úloha 7.1.15. Napíšte rovnicu kružnice s polomerom $\small r=3\ \text{cm}$, ktorá sa dotýka kružnice $\small k$ a priamky $\small l$:
    $\small k:\;\Bigl(x-\tfrac{10}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(y-\tfrac{5\sqrt5}{3}\Bigr)^2 = 4,\qquad l:\; x - y - 3\sqrt2 = 0.$
16. Úloha 7.1.16. Určte prienik kružníc $\small k_1$ a $k_2$, ak
    $\small k_1:\; x^2 + y^2 - 2x + 6y = 6,\qquad k_2:\; x^2 + y^2 + 4y - 6 = 0.$
17. Úloha 7.1.17. Dané sú body $\small A[3;7],\; B[0;1]$. Určte množinu
    $\small M = \{ X\in\mathbb{E}_2 : |XA| = 2\cdot |XB| \}.$