Kvadratické funkcie a rovnice na SŠ

Definícia.
Metóda faktorizácie je založená na rozklade kvadratického trojčlena $\normalsize x^2 + \small B \normalsize x + \small C$ na súčin $\normalsize (x-u)(x-v)$ dvoch lineárnych dvojčlenov tak aby platilo

Poznámka.
Kvadratický trojčlen nadobudne nulovú hodnotu práve vtedy, ak súčin dvojčlenov je rovný nule. To nastane presne vtedy, keď je aspoň jeden z faktorov sa rovná nule resp. keď $\normalsize x = u$ alebo $\normalsize x = v$. Z toho vyplýva, že vyriešiť kvadratickú rovnicu znamená nájsť dve čísla $\normalsize u,v$ s vlastnosťami Toto je štandardná metóda rozkladu (faktorizácie), ktorá sa pripisuje francúzskemu matematikovi François Viète (Viète 1579).

Základná myšlienka Loh metódy spočíva v tom, že budeme hľadať čísla $\normalsize u,v$ vyhovujúce vzťahu v špeciálnom tvare. kde $\normalsize z$ je nejaká konštanta.

Zrejme platí, že súčet dvoch čísel je rovný $\small -B$ práve vtedy, keď ich priemer je $\small -\frac{B}{2}$, a tak stačí nájsť dve čísla¹ v tvare $\small -\frac{B}{2} \pm z$, ktorých súčin je $\small C$. Teda namiesto hľadania dvoch neznámych čísel budeme hľadať len jedno číslo $\normalsize z$.

Tvrdenie.
Súčin $(\small -\frac{B}{2} + z)(\small -\frac{B}{2} - z)$ zodpovedá rozdielu štvorcov. Podľa predpokladu sa má rovnať $\small C$, preto platí

Ekvivalentne, práve vtedy, keď $z$ spĺňa rovnosť Keďže odmocnina vždy existuje (v prípade potreby sa rozšíri na komplexné čísla),tak hľadané $u$ a $v$ existujú v tvare $-\frac{B}{2} \pm z$, čo môžeme zapísať v tvare sú všetky korene pôvodnej kvadratickej.

Cvičenie.
Vyriešte kvadratickú rovnicu $3x^2-38x-13=0$.

1. Klasickou metódou, pomocou vzorca $x_{1,2}$.
2. Loh metódou.

________________________________________________
¹Táto substitúcia použitá na riešenie úlohy nájsť dve čísla vzhľadom na ich súčet a súčin, bola známa už Babylončanom (Katz, 2009). Objavila sa aj v prvej knihe Diophantus: Arithmetica (asi 250).