AritAna: RŠM - úlohy z aritmetiky na samostatnú/domácu prácu

RŠM - úlohy z aritmetiky na samostatnú/domácu prácu

Úlohy pre rozširujúce štúdium matematiky

Vysvetlite, čo v teoretickej aritmetike predstavuje číselný obor a jeho rozšírenie.
Uveďte definíciu aritmetických operácií:

Ak pre trojciferné čísla $a,b$ platí $a+b=1000$ , tak čísla $a^2,b^2$ sa zhodujú v poslednom trojčíslí. Dokážte to.
Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq 1$ platí: $1+3+ ... + (2n+1)=n^2$ .
Myslím si číslo. Keď jeho druhú odmocninu vydelím jeho deviatimi, dostanem číslo 1. Ktoré číslo som si myslel?
Kráľ mal štyroch synov. Prvému odkázal 1/2 majetku, druhému 1/4, tretiemu 1/5. Aká časť majetku zostala na posledného z bratov?
V Rhindovom papyruse je úloha R40, v ktorej sa pracuje s aritmetickou postupnosťou: „Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.“ Pokúste sa ju vyriešiť. Pozrite si kurz Dejiny matematiky.
Súčin troch čísel je 224. Prvé z nich je 10, druhé je 50 - krát menšie ako prvé. Vypočítajte tretie číslo.
Označme: $2=T_{(2,0)}, -3=T_{(0,3)},...$ . Spočítajte resp. určte prirodzené čísla $a,b$ tak, aby platilo

Ukážte, že $\sqrt{3} , \frac{ \sqrt{2} )}{2}$ nie sú racionálne čísla.
Vyznačte na číselnej osi body, ktoré reprezentujú reálne čísla $\sqrt[3]{2} ,π$ .
Nájdite všetky komplexné čísla, ktoré sú riešením rovnice: $x^2+2x+5=0$ .
Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla $z=2+3i$ .
Číslo 32517 zapíšte v číselnej sústave so základom a) 5, b) 2.
Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme 0, tak dostaneme trojciferné číslo, ktoré je o 11 väčšie ako 8 násobok pôvodného. Určte pôvodné číslo.
Vypočítajte a) 37526₈ + 15766₈, b) 62134₇ – 15246₇, c) 2635₈ . 57₈, d) 16014₈ : 5.
V čísle 837521584 vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
Nájdite celé číslo $x$ a cifru $y$ tak, aby $(360 + 3.x)^2= 492y04$ . Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.

$<span class="nolink">$ .$ $