AritAna: Cvičenie N, Z, Q

Cvičenie N, Z, Q

Riešte úlohy: Úvodná časť.

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:

Preveďte číslo (268)₉ do dvanásťkovej číselnej sústavy.
Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8* .
Nájdite v desiatkovej číselnej sústave trojciferné číslo $LIK. (L,I,K) -$ sú cifry tohto čísla, pre ktorého druhú mocninu platí: $(LIK)^2=BUBLIK$ .

Pre rozširujúce štúdium matematiky: 1a, 2, 3

Riešte úlohy: Prirodzené čísla.

Súčet $2 +4 + ... + 2n$ zapíšte pomocou sumačnej symboliky, nájdite vzorec (formulu) pre jeho výpočet a pomocou neho vypočítajte $50 + 52 + ... + 200$ .
V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo. [Cirjak, M. : Tvorivosť v matematike, str. 82]

5 + 2 = ...	3 × 5 = ...
2 + 4 = ...	5 × 3 = ...

Pre rozširujúce štúdium matematiky: 1, 2, 3

Riešte úlohy - Celé čísla.

Spočítajte a zdôvodnite v obore celých čísel:
- $(-2) \oplus 3$ , $(-2) \oplus (-3)$
- $(-2) \otimes 3$ , $(-2 ) \otimes (-3)$ .
Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla $a,b,c \in Z$ platí: $a + (-b) =-(b+(-a))$
Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla $a,b,c \in Z$ platí: $a \times (-b) =- (a \times b)$
V množine celých čísel riešte rovnicu $|x|+|2+x|=4$ a nerovnicu $|3x-5|≤2x+10$ .^[B]
Graficky riešte nerovnicu $x^2-4x-5< 0$ .
Dané sú dve celé čísla $x,y$ . Súčet súčtu, rozdielu, súčinu a podielu týchto čísel je 150. Určte čísla $x,y$ .
Čísla $a_1,a_2,a_3,a_4$ majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti s diferenciou d=2 a posledné tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí $a_4=9$ .^[B]

Pre rozširujúce štúdium matematiky: 1, 5, 7

Riešte úlohy - Raconálne čísla.

Definujte podiel dvoch nenulových racionálnych čísel. Ukážte, že pre ľubovoľné dve racionálne čísla $r,s \in Q$ rôzne od nuly platí $( \frac{r}{s} ) \cdot ( \frac{s}{r} )=1$ .

Vyjadrite číslo $0,1\overline{53}$ v tvare zlomku.^{[B], Str. 498, 49.8}
Do rovnostranného trojuholníka $ABC$ so stranou dĺžky a je vpísaný kruh, do ktorého je vpísaný ďalší rovnostranný trojuholník, ktorému je opäť vpísaný ... Vypočítajte súčet obsahov všetkých takto vzniknutých kruhov. ^{[B], Str. 499, 49.15} . Pozrite si návod v GeoGebre Tu.

Pre rozširujúce štúdium matematiky: 1a, 3, 4

[B] Bušek. I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Praha 1999.

$<span class="nolink">$ .$ $