\chapter{Teoretické východiská}

 Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera) je disciplína matematiky prvýkrát vedecky skúm,aná starovekými Grékmi. Najstaršie známky geometrie sa dajú sledovať už v starovekom Egypte. Rindhov papyrus popisuje presný spôsob výpočtu Ludolfovho čísla, s chybou menšou ako jedna stotina. 


Geometria bola jedna z prvých vedných disciplín matematiky vôbec. Takisto je to prvá disciplína, ktorá bola postavená na axiomatickej báze, ktorú rozpracoval Euklides.  

\vspace{1cm}
\hspace{2cm}
\textcolor{red}{\textit{text v tejto kapitole je prevzatý z bakalárskej práce Lenky Šustekovej}}


\section{Geometria}

Geometria bola spočiatku považovaná obzvlášť za praktický predmet. Zaoberala sa najmä pozemkami – ich tvarmi a veľkosťami, priestorovými vzťahmi medzi objektami v architektúre. Až neskôr grécki matematici začali sledovať štruktúru vo vzájomných vzťahoch medzi tvrdeniami v geometrii. Aby však mohli študovať vzťahy, museli objekty 
skúmať v abstrakcii, preto obdĺžnikové pozemky alebo kusy látky v tvare obdĺžnika nahradili abstraktným pojmom obdĺžnik. Tento pojem definovali tak, aby stelesňoval spoločné znaky konkrétnych objektov. Geometria nabrala nový rozmer a stala sa súborom výrokov o vzťahoch medzi abstraktnými pojmami, ako sú napríklad bod, priamka, rovina, 
obdĺžnik a trojuholník (Specht a kol., 2015). 
\cite{bartsch2}
V súčasnosti je geometria definovaná ako „náuka o tvarových zákonitostiach a pomeroch veľkostí rovinných a priestorových útvarov“ (Slovník cudzích slov, 2015, s. 181). Heilbron vyčleňuje základné druhy geometrie nasledovne: euklidovská geometria, analytická geometria, projektívna geometria, diferenciálna geometria a neeuklidovská geometria (Heilbron, 2024). 

Čo sa týka analytickej geometrie, tak bola iniciovaná francúzskym matematikom Reném Descartom (1596 – 1650), ktorý zaviedol pravouhlé súradnice na lokalizáciu bodov, na znázornenia priamok a kriviek pomocou algebrických rovníc (Heilbron, 2024). Analytická geometria sa tiež nazýva súradnicová geometria, pretože objekty sú opísané 
ako n-tice bodov (pričom pri $n=2$  hovoríme o rovine, pri  $n=2$ zas o priestore) v niektorom súradnicovom systéme. Môžeme napríklad hovoriť o karteziánskych a pravouhlých súradnicových systémoch, ktoré slúžia na charakterizáciu polohy ľubovoľného bodu (Courant,  Robbins, 1996). 

Projektívna geometria sa zaoberá vlastnosťami a invariantmi premietaných geometrických útvarov. Niekedy sa nazýva aj geometria polohy či deskriptívna geometria (Cremona, 1960). Podľa Kashera a Newmana (Kasner, Newman, 1989, s. 150 – 151) v nej platia nasledujúce axiómy: 

\begin{enumerate}
    \item  $( \forall A,B \in \rho ): (A \neq B) \Rightarrow ( \exists p; A,B \in p)$
    \item  $( \forall A,B \in \rho ): (A \neq B) \Rightarrow ( \exists! A;A=(p\cap q)$
    \item  \dots
 
 pričom $A,B$ sú body; $p,q$ priamky a $\rho$ je rovina. 

\end{enumerate}

   





Diferenciálna geometria vznikla v súvislosti s praktickými problémami 
zememeračstva a geodézie. Túto oblasť geometrie inicioval nemecký matematik Friedrich Gauss (1777 – 1855). Pomocou diferenciálneho počtu dokázal charakterizovať vnútorné vlastnosti kriviek a plôch. Napríklad ukázal, že vnútorné zakrivenie valca je rovnaké ako zakrivenie roviny (môžeme vidieť v reze valca pozdĺž jeho osi a sploštením), ale nie je rovnaké ako u gule, tú nemožno sploštiť bez skreslenia (Heilbron, 2024).

Neeuklidovskej a euklidovskej geometrii sa budeme bližšie venovať 
v nasledujúcich kapitolách. 
