\chapter{Matematická kapitola}

Tu uvádzame zápisy pre základné definície, vety, lemy, \dots. Matematický text je vhodné  demonštrovať na výstižných ilustračných príkladoch. Opäť nezabudnúť dôsledne citovať autorov. 

\section{Úvod}
Vety sa dajú ľahko definovať:

\begin{theorem}
\label{spojitost}
Nech \(f\) je funkcia, ktorej derivácia existuje v  každom bode \(f\) potom funkcia je spojitá.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Pytagorova veta]
\label{pythagorean}
Toto je tvrdenie o pravouhlých trojuholníkoch a môže byť prezentované ako rovnica 
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

Z vety \ref{pythagorean} vyplýva tvrdenie uvedené ako dôsledok.

\begin{corollary}
Neexistuje žiadny pravouholník, ktorého strany merajú 3cm, 4cm a 6cm.
\end{corollary}

\begin{tcolorbox}[title=Komentár 1]{}
 OOdkaz na  (vetu, definíciu, \dots) môžeme urobiť pomocou príkazu \begin{verbatim} \ref{... tu uvedieme názov vety ...} napr. \ref{pythagorean} \end{verbatim} Napríklad na pytagorovu vetu odkaz má tvar veta \ref{pythagorean}, kde číslo funguje ako krížový odkaz. 
 Viac o matematických vetách, definíciách, \dots nájdete na stránke \href{https://www.overleaf.com/learn/latex/Theorems_and_proofs}{Theorems and proofs}
\end{tcolorbox}


\begin{lemma}
Pre ľubovoľné dve úsečky, ktorých dĺžky sú \(a\) and \(b\), existuje reálne číslo \(r\) také, že \(b=ra\)
.
\end{lemma}

\section{Základy teórie množín}

Najprv začneme diskusiou o podmnožinách.

\begin{definition}
Nech $A$ a $B$ sú množiny.  Hovoríme, že $A$ je podmnožina množiny $B$, ak každý prvok množiny $A$ je zároveň prvkom množiny $B$ a píšeme $A \subset B$.  Toto môžeme symbolicky zapísať v tvare
$$ (A \subset B) \leftrightarrow \forall x ( x \in A \to x \in B).$$
\end{definition}

Všimnite si, že pre množiny $A$ a $B$, ak $A \not\subset B$, potom existuje prvok $x$ taký, že $x \in A$ a $x \notin B$.  Teda
$$(A \not\subset B) \leftrightarrow \exists x ( x \in A \wedge x \notin B).$$

\begin{example}
Nech $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} $, $B = \{ 1, 2 \}$ a $C = \{ 1, 7 \}$.   
\end{example}

\begin{solution} 
Vidíme, že každý prvok v $B$ je prvkom $A$. Ďalej môžeme vidieť, že $C$ obsahuje prvok, konkrétne $7$, ktorý nie je v $A$. Takže $B \subset A$ and $C \not\subset A.$ Teraz dokážeme vetu \ref{prazdna}.
\end{solution}

\begin{theorem}
\label{prazdna}
Pre ľubovoľnú množinu $A$ platí: $\emptyset \subset A$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Predpokladajme, že veta neplatí. Nech $A$ je množina taká, že $\emptyset \not\subset A.$ Z vyššie uvedeného môžeme vidieť, že existuje prvok $x$ taký, že $x \in \emptyset$ a $x \notin A $. Nech je takýmto prvkom $x$. Keďže prázdna množina nemá žiadne prvky, potom $x \notin \emptyset$. Máme teda $x \in \emptyset$ a $x \notin \emptyset.$ Tento rozpor dokazuje, že veta je pravdivá.
\end{proof}








