\documentclass{beamer}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[slovak]{babel}

\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}  %kvoli obrazkom
\usepackage{hyperref}  %na farebne zvyraznenie odkazov=referencii

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amscd}
\usepackage{curves,bezier,epic,rotating}
\usepackage{array,hhline}
\usefonttheme[onlymath]{serif} %správne sádza matematický text, nielen kurzívou

%%% -------------------------------------------------
%%% zoznam vsetkych grafickych vizualov MiKTeX 2.6 
%%% su v priecinku ...\Miktex\tex\latex\beamer\themes\theme

%\usepackage{beamerthemeAnnArbor}  %zlto-modra
%\usepackage{beamerthemeAntibes}		%cierno-modra hore
%\usepackage{beamerthemeBergen}  	%modra vlavo
%\usepackage{beamerthemeBerkeley}  %modra vlavo+hore
%\usepackage{beamerthemeBerlin}		%modra hore
%\usepackage{beamerthemeBoadilla}	%bledomodra dole
%\usepackage{beamerthemeboxes}
%\usepackage{beamerthemeCambridgeUS}	%cerveno-seda
%\usepackage{beamerthemeCopenhagen}		%cierno-modra
%\usepackage{beamerthemeDarmstadt}	%cierno-modra
%\usepackage{beamerthemedefault}
%\usepackage{beamerthemeDresden}			%modra
%\usepackage{beamerthemeFrankfurt}		%cierno-modra
%\usepackage{beamerthemeGoettingen}		%bledomodra panel vpravo
%\usepackage{beamerthemeHannover}		%bledomodra panel vlavo
%\usepackage{beamerthemeIlmenau}			%modra
%\usepackage{beamerthemeJuanLesPins}		%cierno-modra
%\usepackage{beamerthemeLuebeck}
%\usepackage{beamerthemeMadrid}			%modra dole
%\usepackage{beamerthemeMalmoe}
%\usepackage{beamerthemeMarburg}			%tmavomodra panel vpravo
%\usepackage{beamerthemeMontpellier}
%\usepackage{beamerthemePaloAlto}		 %modra vlavo+hore
%\usepackage{beamerthemePittsburgh}
%\usepackage{beamerthemeRochester}
%\usepackage{beamerthemeSingapore}
%\usepackage{beamerthemeSzeged}
\usepackage{beamerthemeWarsaw}		%cierno-modra pekna
%\usepackage{beamerthemesplit}

%%% -------------------------------------------------
%%% farebny doplnok k temam - pekne!!!

%\usecolortheme{albatross}
%\usecolortheme{beaver}			%bobor
%\usecolortheme{beetle}			%chrobak
%\usecolortheme{crane}			%zeriav
%\usecolortheme{default}
%\usecolortheme{dolphin}	
%\usecolortheme{dove}				%holub
%\usecolortheme{fly}				%mucha
%\usecolortheme{lily}
%\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{rose}
%\usecolortheme{seagull}		%cajka
%\usecolortheme{seahorse}		%morsky konik
%\usecolortheme{sidebartab}
%\usecolortheme{structure}
%\usecolortheme{whale}					%velryba
%\usecolortheme{wolverine}  	%zlto-oranz

%%% -------------------------------------------------
%%% prechod jednotlivych snimkov - efekty:
%%% prikaz treba vlozit niekde do vnutra "frame" - napriklad:
%%%
%%% \transblindshorizontal<ktore snimky maju mat tento efekt>[duration=seconds,direction=degree]
%%%      • direction=degree. Urcuje smer efektu. Hodnoty: 0, 90, 180, 270, (pre "glitter" aj hodnota 315).

%\transblindshorizontal
%\transblindsvertical
%\transboxin
%\transboxout
%\transdissolve
%\transglitter
%\transsplitverticalin
%\transsplitverticalout
%\transsplithorizontalin
%\transsplithorizontalout
%\transwipe

%%% -------------------------------------------------

\begin{document}

%%% predefinuje \alert{} = zvyrazneny text z cerveneho(standardne nastaveny) na modry
%%% \renewcommand{nazov prikazu}[pocet argumentov]{zmena prikazu = nova farba textu}
\renewcommand{\alert}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.63}{#1}}






%%% -------------------------------------------------



\title{\bf\color{yellow!90!black} 
Skladanie zobrazení 
\color{white!50!blue}\rule{.9\linewidth}{.5pt}}
\subtitle{\color{white!80!blue} využitie matíc }
\author[Pavol Hanzel]{\Large\bf Pavol Hanzel\\
\large Fakulta prírodných vied UMB}
\date{\today}


\frame{\titlepage}
\section[Obsah]{}                


\frame{
\label{obsah}
\tableofcontents
}

%---
\section{Dva prístupy}
\subsection{syntetický - euklidovský}

\frame{                                       
	\frametitle{Posunutie}
\medskip
Posunutie  $\tau_u $ o vektor $\vec u =(u_1,u_2)$ nevieme vyjadriť maticou 2 x 2,\\  	
keďže zobrazuje bod $X[x_1,x_2]$ na bod $X'[x_1+u_1,x_2+u_2]$.\\
\pause
\medskip
Musíme použiť sčítanie matíc 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{ccc}
x_{1}  \\
x_{2} 
\end{array} \right) 
\xrightarrow{\sigma_y}  
\left( \begin{array}{ccc}
x_{1}  \\
x_{2} 
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc}
u_{1}  \\
u_{2} 
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
x_{1}  \\
x_{2} 
\end{array} \right) + 
\left( \begin{array}{ccc}
u_{1}  \\
u_{2} 
\end{array} \right)
\end{displaymath}\\
\pause
\medskip
Sčitovanie matíc môžeme nahradiť rozšírenou maticou typu 3 x 3.
 }
%---

%---
\subsection{rozšírené matice 3 x 3}
%---

\frame{                                       
	\frametitle{Rozšírené matice}
\medskip
Posunutie  $\tau_u $ o vektor $\vec u =(u_1,u_2)$ vyjadríme ako súčin matíc.\\  	
\pause
\medskip
Pokúsme sa nájsť rozšírenú maticu typu 3 x 3 tak, aby platilo: 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{ccc}
. & . & .\\
. & . & .\\
. & . & .
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
 1\\
x_{1}  \\
x_{2} 
\end{array} \right) 
=
\left( \begin{array}{ccc}
 1\\
x_{1}+u_{1}  \\
x_{2} +u_{2} 
\end{array} \right) 
\end{displaymath}
\pause
\medskip
Ľahko zistíme, že matica
\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
u_1 &1 &0\\
u_2 & 0 &1
\end{array} \right)
\end{displaymath}\\
vyhovuje naším požiadavkám.
}
%---

\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť}
	
\begin{exampleblock}{Príklad}
Vyjadrite stredovú súmernosť  $\varrho_{S[s_1,s_2]}$ podľa ľubovoľného stredu $S[s_1,s_2] \neq S[0,0] $ pomocou rozšírenej matice.
\end{exampleblock}

\begin{figure}
	\centering
		\includegraphics[width=6cm]{Stredova1.eps}
\end{figure}
}
%---

\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť - konštrukčné riešenie}
	
\medskip
\begin{enumerate}
\item  Danú stredovú súmernosť vyjadríme ako zložené zobrazenie\\
  \begin{itemize}
     \item posunutia $\tau_{-v }$ o vektor $\vec v =(-s_1,-s_2)$
     \item stredovej súmernosti  $\varrho_{S[0,0]}$
     \item posunutia $\tau_{v }$ o vektor $\vec -v =(s_1,s_2)$
  \end{itemize}
\end{enumerate}
\begin{figure}
	\centering
		\includegraphics[width=6cm]{Stredova.eps}
\end{figure}
}
%---

\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť - analytické riešenie}
	
\medskip	
\begin{enumerate}
\item  Posunutie  $\tau_{-v }$ o vektor $\vec v =(-s_1,-s_2)$ je určené maticou
\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
-s_1 &1 &0\\
-s_2 & 0 &1
\end{array} \right)
\end{displaymath}


\pause
\item Stredová súmernosť je daná maticou

\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
0 &-1 &0\\
0 & 0 &-1
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{enumerate}
}
%---

%---
\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť - analytické riešenie}	
\medskip	
\begin{enumerate}
\item [$\spadesuit$] Zrejme posunutie  $\tau_{v }$ o vektor $\vec v =(s_1,s_2)$ je určené maticou
\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
s_1 &1 &0\\
s_2 & 0 &1
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\pause
\item [$\spadesuit$] Stredová súmernosť ako zložené zobrazenie je dané súčinom matíc
\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
s_1 &1 &0\\
s_2 & 0 &1
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
0 &-1 &0\\
0 & 0 &-1
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
-s_1 &1 &0\\
-s_2 & 0 &1
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{enumerate}
}
%---

%---
\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť - analytické riešenie}	
\medskip	
Postupným roznásobením dostaneme

\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
s_1 &-1 &0\\
s_2 & 0 &-1
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
-s_1 &1 &0\\
-s_2 & 0 &1
\end{array} \right)=
\pause
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
2s_1 &-1 &0\\
2s_2 & 0 &-1
\end{array} \right)
\end{displaymath}

}
%---

%---
\frame{                                       
	\frametitle{Stredová súmernosť - záver}	
\medskip
\begin{block}{Tvrdenie}	
Pre obraz bodu $X[x_1,x_2]$ v stredovej súmernosti  $\varrho_{S[s_1,s_2]}$ platí
\end{block}

\medskip
\begin{alertblock}{}

\begin{displaymath}  
\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 &0\\
2s_1 &-1 &0\\
2s_2 & 0 &-1
\end{array} \right)
\circ
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
x_1\\
x_2
\end{array} \right)=
\pause
\left( \begin{array}{ccc}
1\\
2s_1 -x_1\\
2s_2 -x_2
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
x'_1\\
x'_2
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{alertblock}
\medskip
To je analytický výsledok.
}
%---

%---




\end{document}

