\chapter{Práca učiteľa v nových podmienkach}

Zavádzanie nových technológií do matematického vzdelávania si   vyžaduje aj primeranú zmenu foriem a metód prác učiteľa. Pri implementácii programu GeoGebra priamo do vyučovacieho procesu je nutné mať na zreteli
\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
    \item na ktorom stupni vzdelávania prebieha implementácia  \vspace{-10pt}
    \item v akom tematickom celku využívame program GeoGebra\vspace{-5pt}
\end{enumerate}

Dnes sme svedkami, že digitálne technológie prenikajú nielen do všetkých oblastí každodenného života nevynímajúc školy. Počítače, tablety, inteligentné telefóny s programovými vybaveniami sú súčasťou dnešnej generácie žiakov už od narodenia. Nemôžme sa čudovať, že sa prirodzene objavujú
aj na hodinách matematiky. V práci (Kis-Tóth,Hauser,Stoffová 2012) sa konštatuje: "Pre učiteľa matematiky je aktuálnou otázkou, čo z týchto digitálnych technológií využiť vo vyučovaní matematiky. Ukazuje sa, že každá zo spomínaných
technológií má svoje miesto a dá sa efektívne použiť pri dosahovaní vyučovacích cieľov."

Matematické vzdelávanie na rôznych stupňoch vzdelávania umožňuje rozvíjať viaceré kompetencie vymedzených ISTE (International Society for Technology in Education)\footnote{Štandardy ISTE predstavujú rámec, ktorý vedie pedagógov pri používaní digitálnych technológií na vytváranie vysoko účinných, udržateľných a spravodlivých vzdelávacích skúseností. Pozri stránku \href{https://iste.org/standards}{Tu}.}. Kolegyňa Koreňová z FMFI UK Bratislava veľmi výstižne uvádza "Pomocou softvéru GeoGebra môžu žiaci experimentovať, vytvárať a overovať hypotézy. V rámci projektovej metódy môžu spolupracovať, komunikovať, zbierať a vyhodnocovať informácie z internetu, spracovávať štatistické údaje. V práci (Korenova 2006) je popísaný aj stav digitalizácie škôl na Slovensku v roku 2012. V tom období na základných a stredných školách SR pripadla priemerne jedna interaktívna tabuľa na 91 žiakov, 43\% percent učiteľov pravidelne využívalo vo vyučovacom procese počítače a viac ako 90\% učiteľov absolvovalo školenia v oblasti IKT. Na základe tohto nepriaznivého stavu MŠ SR si vytýčilo cieľ postupne zvyšovať digitalizáciu vzdelávania na našich školách a zlepšiť dostupnosť digitálneho učiva na každom stupni vzdelávania. 
V priebehu poslednej dekády sa stav výrazne zlepšil. 

Digitálne technológie pomáhajú učiteľom prispievať k napĺňaniu viacerých didaktických funkcií vo vyučovacom procese. Spomenieme niektoré z nich. Podľa práce (Lukáč, 2001) sú to hlavne:
\vspace{-8pt} 
\begin{itemize}
    \item Motivačná funkcia - počítače môžu formovať kladný postoj žiakov k preberanému učivu. \vspace{-7pt}
    \item Informačná funkcia – technológie umožňujú získavať a pracovať s informáciami. \vspace{-7pt}
    \item Riadiaca funkcia – vhodné interaktívne výučbové programy môžu riadiť cieľavedomú výmenu názorov medzi subjektom vzdelávania a počítačom. \vspace{-7pt}
    \item Sociálna funkcia – práca v skupine podnecuje diskusie o preberanej problematike. 
\end{itemize}

V ďalších podkapitolách sa budeme venovať špecifikám práce učiteľa na rôznych úrovniach vzdelávania v procese implementácie nových moderných technológií do vyučovania matematiky. 
Proces matematického vzdelávania podľa (Hejný, Littler 2006)  je rozložený na päť úrovní. Prvá úroveň je motiváciou, ktorá smeruje od konkrétneho poznávania matematického pojmu ku generickému modelu a smeruje k abstraktnému zovšeobecneniu. 
Vzdelávací proces a jeho úrovne:

\begin{itemize}
    \item motivácia \vspace{-7pt}
    \item izolované modely \vspace{-7pt}
    \item generický model (modely) \vspace{-7pt}
    \item abstraktné poznanie \vspace{-7pt}
    \item  kryštalizácia a automatizácia. \vspace{-7pt}
\end{itemize}

Motivácia je napätie, ktoré v mysli človeka vytvára nesúlad medzi existujúcim a požadovaným stavom poznania. Rozpor pochádza z rozdielu medzi „neviem“ a „potrebujem vedieť“. Podľa (Gunčaga 2011) GeoGebru je možné využiť ako efektívny motivačný nástroj, pretože umožňuje zohľadňovať mnohé matematické pojmy vo vzájomných vzťahoch viditeľnejšie a~navyše dynamicky.

Učiteľ pri zavádzaní nového matematického pojmu sa snaží použiť vhodné motivačné izolované modely. Napríklad pri (lineárnej) závislosti výsledná cenu je závislá od množstva tovaru, čo v GeoGebre je možné jednoducho znázorniť dynamickou tabuľkou a grafom \mbox{lineárnej} funkcie. Graf funkcie síce bude predstavovať len množina izolovaných bodov. 

V druhej fáze (izolované modely) učiteľ žiakom už na primárnom stupni vzdelávania predkladá viaceré izolované modely a ich reprezentácie v prostredí GeoGebry. Napríklad pri meraní nárastu alebo poklesu teploty v rámci dopoludňajšieho vyučovania  a pod. Učiteľ pomocou GeoGebry  postupne vkladá výsledky práce žiakov do tabuľky a následne ich graficky znázorní. Vytvára digitálne reprezentácie izolovaných modelov. Je to prípravný stupeň v procese matematického vzdelávania.

V tretej fáze (generické modely) učiteľ vedie žiakov na nižšom sekundárnom stupni vzdelávania, aby sa pokúsili nájsť krivku, ktorá prechádza cez zostrojené body. Vytvárajú tak aproximáciu izolovaného modelu. Výsledok tejto aktivity smeruje k zostrojeniu grafu funkcie, ktorý bude predstavovať konkrétny (lineárny - priamo úmerný) vzťah. 

V tejto fáze s výdatnou pomocou GeoGebry môže učiteľ zaviesť definíciu (lineárnej) \mbox{funkcie} ako základ pre abstraktné poznanie. Je to štvrtá etapa v procese matematického vzdelávania. Práca učiteľa a jeho žiakov v predchádzajúcich štyroch etapách je spontánna \mbox{a má} formu krok za krokom (Step by Step). Sleduje postupnosť \mbox{od prvých}  izolovaných modelov až k vytváraniu generických modelov. 

V piatej fáze "Kryštalizácia a automatizácia" celý proces pozostáva  z~manipulácie s konkrétnymi funkciami, ktoré postupne už majú zložitejší tvar. Táto fáza je predovšetkým zastúpená na strednej škole.

\section{Primárne vzdelávanie}

Vzdelávanie detí mladšieho školského veku podporujúce rozvoj logického myslenia a operovania s abstraktnými pojmami má slovami Piageta prebiehať na tomto stupni vzdelávania, resp. v štádiu konkrétnych operácii výlučne vo vzťahu ku konkrétnym, zmyslami vnímaným objektom (Johnson, a kol. 2015; (Piaget, Inhelderová, 1997). V matematickom vzdelávaní na prvom stupni základnej školy zavádzaní nových matematických pojmov je dôležitá vizualizácia a prípadná dynamičnosť týchto pojmov.  V práci (Valentová, Pracharová 2023) sa uvádza, že vhodnými podpornými modelmi pre vizualizáciu učiva je práve prostredie dynamickej geometrie, konkrétne pre tento stupeň vzdelávania sa odporúča program GeoGebra.  

Medzi základné konštrukcie, ktoré sa žiaci na primárnom stupni vzdelávania učia, patrí okrem iného aj rysovanie úsečky (bez aj so zadaním dĺžky), priamky, polpriamky,  rysovanie uzavretej lomenej čiary, označovanie a pomenovanie bodov, rysovanie konkrétnych rovinných útvarov v štvorcovej sieti a pod. (Štátny vzdelávací program pre primárne vzdelávanie – 1. stupeň základnej školy, 2015). Predmetné konštrukcie je možné realizovať aj v programe GeoGebra. 

Pri zavádzaní abstraktných matematických  pojmov a pri rysovaní základných  geometrických útvarov na 1. stupni ZŠ sledujeme dve základné línie
\begin{itemize}
        \item definovanie geometrického pojmu, s dôrazom na popis jeho  určujúcich prvkov, ako sú vrcholy, strany a pod.;  \vspace{-5pt}
    \item zdokonaľovanie sa v jemnej motorike pri rysovaní jednoduchých útvarov. \vspace{-5pt}
\end{itemize}

Z toho dôvodu program GeoGebra odporúčame využívať  len učiteľom a to len ako didaktickú pomôcku pri výklade nového učiva. Najčastejšie ide o využitie pri rysovaní na interaktívnej tabuli alebo priamo pomocou online aplikácie\footnote{\href{https://www.geogebra.org/geometry}{https://www.geogebra.org/geometry}}. Na obrázku  \ref{UseckaKomplet} vidíme jednu z takýchto možností pri zavádzaní východiskového pojmu "Úsečka" v euklidovskej rovine. Ide o učivo druhého ročníka primárneho vzdelávania. 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{UseckaKomplet_NS.png}
       \caption{Rysovanie úsečky formou Step by Step}
    \label{UseckaKomplet}
\end{figure}

Applet znázornený na tomto obrázku je voľne dostupný v interaktívnej forme na adrese \href{https://www.geogebra.org/m/cebethht}{https://https://www.geogebra.org/m/cebethht}. Prácu učiteľa s týmto appletom si predstavujeme ako synchronizovanú činnosť s prácou žiakov vo svojich "paper" zošitoch. Učiteľ najskôr  na prezentačnej ploche (interaktívna prezentačná plocha) aktivuje pomocou navigačného panela "čistý applet" (Step 1) a zároveň vyzve žiakoch, aby si vo svojich zošitoch zvolili (narysovali) dva ľubovoľné body. V ďalších krokoch (Step 2 až 6) postupuje tak, ako to znázorňuje tabuľka \ref{RysUseckal}

\begin{table}
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|}
        učiteľ & žiak\\
        \hline
        aktivuje tlačítko  "Pravítko On/Off"&vyberie si svoje pravítko  \\
        aktivuje tlačítko  "Nastav začiatok"&priloží pravítko k bodom $A,B$ \\
        aktivuje tlačítko "Pero On/Off"& priloží pero k bodu $A$\\
        aktivuje tlačítko "Kresliť"&rysuje od bodu $A$ k bodu $B$ \\
    \end{tabular}
    \caption{Rysovanie úsečky}
    \label{RysUseckal}
\end{table}

Všimnime si, že v tomto applete nie sú zobrazené nástroje GeoGebry. A to z jednoduchého dôvodu, keďže applet slúži len a len učiteľovi, tak zobrazené nástroje by pôsobili rušivo na žiakov. V tomto štádiu neodporúčame používať GeoGebru priamo žiakmi, ani pri interaktívnej tabuli. Odporúčame rysovanie žiakmi na tabuli len bežnými pomôckami.

Postupne vo vyšších ročníkoch primárneho vzdelávania rozširujeme používanie programu GeoGebra na náročnejšie konštrukcie s použitím viacerých online nástrojov GeoGebry - priamka, kružnica, priesečník, uhol a pod. Pri týchto úlohách objavným spôsobom pripravujeme žiakov na niektoré euklidovské tvrdenia. Napríklad, že trojuholník môžeme zostrojiť len ak platí trojuholníková nerovnosť. Aktivujte si applet na obrázku \ref{Trojuholnik1}.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Trojuhol_Konštrukcia a, b, c.png}
    \caption{Konštrukcia trojuholníka z daných strán, dostupné \href{https://www.geogebra.org/m/rajbb8cw}{Tu}.}
    \label{Trojuholnik1}
\end{figure}
Činnosť na vyučovacej hodine má podobný charakter ako sme uviedli v tabuľke \ref{RysUseckal}.Avšak cieľom tejto vyučovacej hodiny je nielen narysovať trojuholník ale interaktívnom manipuláciou vytvárať situácie kedy trojuholník môžeme resp. vieme zostrojiť a kedy nie. Manipuláciu (zmenu parametrov veľkostí strán) by mal robiť vo väčšom rozsahu učiteľ ale nevylučujeme, že zmenu parametrov môžu robiť aj žiaci pri interaktívnej tabuli. Nie na vlastných tabletoch. 

Okrem geometrie môžeme s výhodou nové technológie integrovať do vyučovacieho procesu aj v iných predmetoch. Napríklad pri aritmetických operáciách. Appletov v prostredí GeoGebra nájdeme pomerne veľa k kategórii "Materiály" na  \href{https://www.geogebra.org/t/arithmetic}{tejto adres}. Pred ich používaním odporúčame preveriť ich odbornú aj didaktickú úroveň. Mnohé obsahujú aj závažnejšie odborné matematické chyby alebo nespĺňajú súčasné požiadavky na technologické a didaktické spracovanie. Na ukážku sme vybrali aktivitu \ref{Scitanie} vhodnú ako prezentáciu pri zavádzaní pojmu prirodzené číslo a na precvičovanie sčítania prirodzených v obore do 10. Autorom tohto appletu je FRANCISCO ANDRÉS. Jeho rozsah je podivuhodný, zahŕňa až 3212  konštrukčných krokov. Avšak jeho zaradenie do vyučovania na slovenských školách si vyžaduje len preklad dvoch slov: INICO - ŠTART; COMPROBAR - KONTROLA. 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Scitanie_Regletas_Andres.png}
    \caption{Aktivita na sčítanie v obore do 10, dostupné \href{https://www.geogebra.org/m/d85zxxvb}{Tu}.}
    \label{Scitanie}
\end{figure} 
\newline
Práca s appletom \ref{Scitanie} je pomerne jednoduchá a prívetivá pre žiakov primárneho vzdelávania. Učiteľ môže zaradiť túto interaktívnu činnosť do vyučovania napríklad pri upevňovaní vlastnosti \textit{komutatívnosť sčítania} prirodzených čísel. Na začiatku učiteľ aktivity prezentuje niektorú sekvenciu, napr. sekvenciu na obrázku \ref{Scitanie} pre celú triedu. Súčasne do odpovedí zapája viacerých žiakov. Po niekoľkých pokusoch učiteľ na tabuli zverejní inštrukcie podľa, ktorých budú žiaci individuálne pracovať. Potom nechá samostatne pracovať žiakov, sleduje ich činnosť a individuálne im pomáha. 

Inštrukcie pre žiakov:
\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
     \item Najskôr musíš presunúť obdĺžniky z ľavej pyramídy na správne miesto v štvorcovom modeli v strede.  \vspace{-5pt}
    \item Následne musíš umiestniť číslice zo stĺpca pod nápisom {\footnotesize INICO} do schémy pod nápisom {\footnotesize COMPROBAR}.\vspace{-5pt}
    \item Potom over správnosť výsledku stlačením {\footnotesize COMPROBAR}. 
    \vspace{-5pt}
    \item 
    V prípade, že sa ti objaví ľahko zamračený smajlík 
    \begin{wrapfigure}{}{}
\includegraphics[width=0.04\linewidth]{smajlik.PNG} 
\caption{}
\label{}
\end{wrapfigure}
    stlač {\footnotesize INICO} a pokús sa o opravu.
\end{enumerate}
Ukážka správneho riešenia je na obrázku \ref{scitanie2}.
Uviedli sme len tri ukážky appletov vhodných na zaradenie do vyučovania v nižších ročníkoch základnej školy. Vytvorenie appletov v prostredí GeoGebry nie je jednoduché. Vyžaduje si od jeho tvorcov značný čas, trpezlivosť a to hlavne na úkor osobného voľna. V práci (Híc,Pokorný 2011) sa uvádza, že "\textit{príprava elektronických vzdelávacích materiálov, ako sú e-learningové Moodle kurzy či testy k nim, applety vytvorené programom GeoGebra a ich \TeX ovské popisy je pomerne náročný proces. Výsledky s ich použitím vo vzdelávacom procese naznačujú, že sa oplatí investovať čas do ich prípravy}". Svedčia o tom skúsenosti nielen autorov P. Híc a M. Pokorný ale aj mnohých súčasných didaktikov matematiky.  
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Scitanie_Regletas_Andres2.png}
    \caption{Aktivita na sčítanie - riešenie}
    \label{scitanie2}
\end{figure}
O implementácií nových technologických prvkov v príprave elementaristov bolo v poslednom desaťročí publikovaných viacero zaujímavých vedecko-výskumných prác. Výsledky takýchto výskumov boli prezentované na rôznych medzinárodných konferenciách. Jedna už pomerne dobre známa konferencia je  Elementary Mathematics Education, z ktorej publikácie sú dostupné na adrese \href{https://www.eme.upol.cz/historie.html}{https://www.eme.upol.cz/historie.html}.  


\section{Nižšie sekundárne vzdelávanie}

Školská reforma, ktorá sa začala realizovať v školskom roku 2008/2009 mala za cieľ umožniť učiteľom viac prispôsobiť vzdelávací proces potrebám a záujmom žiaka s ohľadom na ich budúce uplatnenie sa na medzinárodnom trhu práce. 
V práci (Tomkova, V. , Zemberova 2015) sa konštatuje, že "\textbf{\textit{školská reforma}} z roku 2008 v SR \textbf{\textit{nepriniesla}} očakávané zlepšenie vedomostí a zručností žiakov základnej školy, je potrebné hľadať možnosti, ktoré by daný stav zmenili".
\subsection{Kurikulárna  reforme v matematike}
Zlepšenie vedomostí a zručností žiakov sa pokúša riešiť nový Štátny vzdelávací program (ŠVP), ktorý bol schválený v roku 2023 a základné školy začnú povinne učiť podľa nového ŠVP od školského roku 2026/2027.  otvára príležitosti pre školy učiť moderne. Deti žijú v súčasnosti v odlišnom svete, v inom, ako žili ich rodičia a iné generácie pred nimi. Majú iné skúsenosti, iné podnety a stoja pred nimi iné príležitosti a výzvy. To je hlavným signálom preto, aby vzdelávací systém začal pripravovať naše deti na budúcnosť inak.  Rezort školstva začal s prípravou kurikulárnej reformy s cieľom naplnenia týchto potrieb. Kurikulárna reforma patrí medzi kľúčové nástroje plánu obnovy SR, ktoré majú potenciál lepšie  pripraviť deti na budúcnosť. Základná myšlienka kurikulárnej reformy pre oblasť matematiky je formulovaná v dokumente Vzdelávanie pre 21. storočie\footnote{ Portál vzdelávania pre 21. storočie \href{https://vzdelavanie21.sk/wp-content/uploads/2022/06/Vychodiska-zmien-v-kurikule-zakladneho-vzdelavania.pdf}{Tu}} v preambule časti Matematika a Informatika. Píše sa v nej: 

\textit{Cieľom vyučovania matematiky je rozvíjať matematické myslenie na riešenie problémov reálneho života. Prostriedkami rozvoja matematického myslenia sú matematické poznatky 
(pojmy, vzťahy a postupy) a matematické činnosti (používanie matematických reprezentácií, matematického modelovania a osvojenie si matematickej komunikácie). Matematika pri riešení problémov rozvíja tiež kritické myslenie žiakov založené na osobnostných, postojových a poznávacích schopnostiach.}

Schválený Štátny vzdelávací program predstavuje konkrétne ciele výchovy a vzdelávania, profil absolventa či rámcové učebné plány. Samotné výkonové a obsahové štandardy presnejšie definujú, čo majú žiaci vedieť na konci jednotlivých vzdelávacích cyklov, teda tretieho, piateho a deviateho ročníka základnej školy.

\vspace{20pt}
 \textcolor{blue} {\textit{Doplniť ako seminárnu prácu}}



\subsection{Ukážky využívania IKT }
V predchádzajúcich častiach sme spomenuli závery výskumov viacerých uznávaných zahraničných autorov, ktorí sa zaoberali využívaním nových digitálnych technológií vo vzdelávaní. Tieto závery môžeme zovšeobecniť a konštatovať, že prostriedky zvyšujúce efektivitu vzdelávania žiakov na všetkých stupňoch vzdelávania môžeme rozdeliť do troch základných kategórií:
\vspace{-5pt}
\begin{itemize}
    \item zariadenia umožňujúce obrazovú prezentáciu pojmov - interaktívna tabuľa;\vspace{-5pt}
    \item komplexné vzdelávacie systémy - LMS, GeoGebra;\vspace{-5pt}
    \item špecificky zamerané softvéry - \TeX, Matlab a pod.;  \vspace{-5pt}
\end{itemize}

Toto musíme mať na zreteli pri hľadaní nových metód  zvyšovania efektivity matematického vzdelávania na základnej škole aj v Slovenskej republike. V primárnom vzdelávaní učitelia hlavne pracujú s interaktívnymi tabuľami a menej využívajú moderné IKT. Na druhom stupni základnej školy (nižšie sekundárne vzdelávanie) učitelia (ale i žiaci) pracujú nielen s interaktívnou tabuľou, ale už aktívne pracujú so vzdelávacími systémami a špecificky zameranými softvérmi. 

Problematiku efektivity vzdelávania žiakov s podporou IKT skúma aj práca (Türel \&  Johnsom 2012). Autori tejto práce realizovali výskum na vzorke 174 učiteľov základných škôl. 
Došli k záveru, že 
\begin{itemize}
    \item až 91,4 \% respondentov súhlasí, že IKT poskytujú prostriedky na lepšiu názornosť a~ predstavivosť;  \vspace{-5pt}
    \item IKT prispievajú k ľahšiemu zapamätaniu si učiva 64,0\% a \vspace{-5pt}
    \item rýchlejšiemu zapamätaniu si učiva (65,4 \%) \vspace{-5pt}
    
\end{itemize}
Z doterajších výskumov môžeme urobiť záver, že u  žiakov na nižšom sekundárnom vzdelávaní, moderné digitálne technológie pozitívne ovplyvňujú ich schopnosť porozumieť textu. Z toho dôvodu sa v dnešnej dobe javí ako nevyhnutnosť využívanie moderných technológií učiteľmi základných škôl.

\subsubsection{Zlomky na ZŠ}

Obsahové a výkonové štandardy pre tematický okruh Zlomky na ZŠ zahŕňajú:
\begin{enumerate}
    \item Zlomok ako časť celku,chápať, prečítať, zapísať, znázorniť diagramom. \vspace{-5pt}
    
    \item Zlomok ako číslo, umiestniť na osi. Nulový a jednotkový, pravý a nepravý zlomok. Prevod na zmiešané číslo. Vyjadrenie desatinným číslom. \vspace{-5pt}
    \item  Rovnosť zlomkov, rozširovanie a krátenie zlomkov\vspace{-5pt}
    \item Porovnávanie a usporiadanie. Rovnaké zlomky v inom tvare. Základný tvar. Rozširovanie a krátenie.  \vspace{-5pt}
    \item Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým a rôznym menovateľom. \vspace{-5pt}
    \item Násobenie a delenie zlomkov prirodzeným číslom a zlomkom. Krátenie do kríža. Úprava výsledku na základný tvar, resp. zmiešané číslo.\vspace{-5pt}
\end{enumerate}
\vspace{5pt}

Na zlomok sa môžeme pozerať z hľadiska mnohosti, operátora a adresy. (Hejný a kol. 1989). Mnohosť odpovedá na otázku „Koľko?“
Operátor sa chápe ako príkaz zmeny, napr. zober z toho 3/4.
Adresa hovorí o usporiadaní, o zaradení do štruktúry, v matematike ide najčastejšie o umiestnenie na číselnú os.

Profesor Hejný identifikuje kritické miesta vo vyučovaní zlomkov.
\begin{enumerate}
   
    \item Prvá predstava zlomku je vo forme operátora - nie 3/4 ako číslo, ale ako vziať 3/4 z niečoho. Ako časť koláča, ktorú si odkrojím.\vspace{-5pt}
    \item Pochopiť zlomok ako mnohosť vyžaduje abstrakciu. Pomôžeme si číselnou osou. Zlomok 3/4 predstavuje primárne adresu na číselnej osi. Avšak reprezentuje aj mnohosť - dĺžka úsečky od začiatku osi v čísle 0 po číslo 3/4.  A tiež reprezentuje operátor - vyčlenenie troch štvrtín z úsečky s krajnými bodmi 0, 1.
\vspace{-5pt}
     \item Pred zavedením súčtu a súčinu zlomkov je potrebné doviesť žiaka od predstavy zlomku ako operátora ku zlomku ako mnohosti. \vspace{-5pt}
\end{enumerate}


Pri interpretácii zlomkov využívame tri praktické (klasické) modely \vspace{-5pt}\begin{itemize}
    \item úsečka (tyč, doska); \vspace{-5pt}
    \item kruh (torta, pizza); \vspace{-5pt}
    \item obdĺžnik rozdelený na štvorčeky (čokoláda).\vspace{-5pt}
\end{itemize}

Každý z nich reprezentuje pevnú jednotku, ktorú rozdeľujeme na časti. Ak ide o 3/4, štandardná predstava je taká, že rozdelíme tortu na 4 kúsky a naložíme si tri. Slovné vyjadrenia postupne skracujeme a povieme už len „štvrtina“. Takto sa utvára abstraktnejšia predstava zlomku ako mnohosti.
Ďalší krok je vziať 3/4 z dvoch tort, potom 3/4 z ľubovoľného celočíselného počtu tort a napokon 3/4 z torty, ktorá už raz bola rozkrájaná. Napríklad 3/4 z polovice torty. Názorná dynamická vizualizácia týchto krokov je práve hlavným cieľom dynamických geometrických systémov (DGS). 

Uvedieme niektoré aplikácie programu GeoGebra, ktoré učiteľ môže využívať v matematickom vzdelávaní v rámci tematického celku Zlomky. Učitelia pri využívaní takýchto aplikácií môžu si zvoliť dve cesty:
\begin{enumerate}
    \item ísť cestou vlastnej tvorby \vspace{-5pt}
    \item  využiť na portáli GeoGebra funkčné applety \vspace{-5pt}
\end{enumerate}

Prvá cesta je náročnejšia, pretože si vyžaduje dobré skúsenosti práce s týmto programom. Poznamenajme, že súčasní absolventi novo akreditovaného študijného programu Učiteľstvo matematiky majú v tomto smere výhodu, lebo programovanie so systémom LMS Moodle a GeoGebra majú ako povinný predmet. 

Druhá cesta je na prvý pohľad jednoduchšia, lebo akože stačí si vybrať z množstva appletov, ktoré sú voľne dostupné na internete. Takým materiálom je napríklad zbierka
\footnote{Fraction Book. Dostupné na \href{https://www.geogebra.org/m/K7cDMUC7}{https://www.geogebra.org/m/K7cDMUC7}}. Nachádza sa v nej celkovo 41 appletov zoskupených do 4 kapitol. Z toho 23 od autora Duane Habecker, zvyšok je od iných autorov. Má to však "háčik". Niektoré applety v tejto zbierke (a nielen v tejto) sú v anglickom jazyku resp.aj inom jazyku. Upraviť takýto applet pre potreby základného vzdelávania v slovenských školách znamená preložiť do slovenčiny sprievodné texty a pokyny k používaniu. To si vyžaduje hlbšie odborné znalosti s týmito systémami. Podrobnejšie popíšeme aktivity vhodné pri zavádzaní pojmu zlomok. 

Učiteľ pri výklade pojmov súvisiacich s témou \textit{Zlomok} môže sa pomocou appletov zamerať na didaktický problém "\textit{Čo budeme riešiť}". Nami vybraný modelový applet "Visualizing fractions with various models" môže žiakom napomôcť pri rozvíjaní predstavy zlomku ako mnohosti a~adresy.  Zvolený model umožňuje utvárať dobré predstavy o~pojme zlomok. Umožňuje abstrahovať od predmetnej predstavy zlomku, vytvára priestor pre modelovanie rôznych zlomkov. Využitie appletu navyše zabezpečí okamžitú, automatickú kontrolu výsledku. \vspace{15pt}
\\
\textbf{Applet} \textit{Vizualizácia zlomkov pomocou rôznych modelov} \footnote{
\href{https://www.geogebra.org/m/axmnptte}{https://www.geogebra.org/m/axmnptte}}
znázornený na obrázku \ref{Zlomok_Vizualizacia} popisuje úlohu nielen menovateľa ale aj čitateľa. Učiteľ applet aktivuje tlačítkom \textit{Nový tvar}. Výsledok aktivácie je:
\begin{itemize}
    \item Náhodne sa vygeneruje tvar separovaného modelu, pričom sa vyberá z možností - kruh a dva druhy obdĺžnikov.  \vspace{-5pt}
    \item Tvar sa zároveň náhodne rozdelí na určitý počet častí. Prípad na obrázku \ref{Zlomok_Vizualizacia} predstavuje delenie na 7 častí. \vspace{-5pt}
    \item Zároveň sa vygeneruje náhodne text \uv{3 zo 7} a vpravo od tohto textu sa zobrazí symbol~$\frac{3}{7}$ používaný v školskej matematike pre zápis zlomku. \vspace{-5pt}
\end{itemize}
  \begin{figure} [h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Fractions - Visualizing _ preklad.png}
    \caption{Vizualizácia zlomkov pomocou rôznych modelov}
    \label{Zlomok_Vizualizacia}
\end{figure}


Učiteľ vo svojom výklade o zlomku zdôrazní, že menovateľ určuje celkové rozdelenie útvaru, na obrázku \ref{Zlomok_Vizualizacia} to predstavuje 10 častí. Preto musíme najskôr  pomocou \uv{šípky dole} nastaviť hodnotu \uv{10 častí}. V ďalšej časti výkladu sa zameria na pojem \uv{čitateľ}, ktorý je vyjadrený číslom 6 nad zlomkovou čiarou.   \uv{Klikaním} na jednotlivé časti nastavuje hodnotu pre určitý počet. Odporúčali by sme začať výberom zobrazeným na obrázku  \ref{Zlomok_Vizualizacia1} a pokračovať výbermi z obrázkov \ref{Zlomok_Vizualizacia2} a \ref{Zlomok_Vizualizacia3}. Kliknutím na tlačidlo „Nový tvar“ dostaneme okrem nového zlomku aj iný obrázok celku. Ten sa môže zmeniť z kruhu na obdĺžnik, resp. naopak. Pripomína to krájanie koláča alebo rezanie dosky.


Vhodných aplikácií, ktoré sú voľne dostupné na internete, učiteľ základnej školy nájde dnes veľké množstvo. Mnohé z nich sú navzájom kompatipbilné. Jedna z takých aplikácií je aj WordWall, ktorá podľa ich tvorcov \uv{značne a rýchlejšie prispieva k vytvárániu lepších vyučovacích hodín}.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Fractions - Visualizing _ preklad1.png}
    \caption{Úloha menovateľa a čitateľa 1, dostupné \href{https://www.geogebra.org/m/pzpwseqs}{Tu}}
    \label{Zlomok_Vizualizacia1}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Fractions - Visualizing _ preklad2.png}
    \caption{Úloha menovateľa a čitateľa 2}
    \label{Zlomok_Vizualizacia2}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Fractions - Visualizing _ preklad3.png}
    \caption{Úloha menovateľa a čitateľa 3}
    \label{Zlomok_Vizualizacia3}
\end{figure}



 \vspace{20pt}
\textbf{WordWall} je systém , ktorý umožňuje prispôsobiť vlastnú obrazovku ako priestor (SlovnáStena) pre interaktívne didaktické pomôcky na vyučovacie hodiny.
Systém WordWall je publikovaný na webovej stránke \href{https://wordwall.net/sk}{Tu}. Ide o jednoduchý spôsob, ako vytvoriť svoje vlastné učebné zdroje, vlastné aktivity typu: porovnania, kvízy, slovné hry, pexeso a pod. Systém WordWall ponúka až 18 šablón na vytváranie takýchto pomôcok. Spôsob vytvárania je prispôsobený interaktívnemu prístupu, ktorý zahŕňa online písanie textu a vkladanie externých obrázkov priamo z vyrovnávacej pamäte počítača.

Vytvorené didaktické pomôcky je možné vložiť na svoju vlastnú webovú stránku. Systém WordWall umožňuje zdieľanie vytvorenej aktivity tromi spôsobmi - pomocou rámca "iframe", pomocou hypertextovej ikonky alebo pomocou QR kódu. Rámec "iframe" načítava stránku HTML zo servera WordWall v rámci dokumentu, v ktorom chceme prezentovať vytvorenú aktivitu. V podstate umiestni inú webovú stránku do nami zvolenej stránky. Hypertextová ikonka predstavuje len obrázok, ktorý po kliknutí naň nás presmeruje na stránku WordWall.

Pri vytváraní interaktívnej didaktickej pomôcky je k dispozícii celý rad technických vymožeností.
\begin{enumerate}
    \item Pri písaní textu môžeme využiť veľké množstvo symbolov, ktoré umožňujú vytvoriť špeciálne zápisy ( matematická symbolika, Letterlike Symbols, fonetická abeceda a mnoho ďalších) dokonca aj Braillovo písmo.\vspace{-5pt}
     \item Vkladať obrázky rôznych typov. Dokonca je možné použiť grafické výstupy z programu GeoGebra, ktoré sa dajú implementovať do vybraných šablón zo systému WordWall.\vspace{-5pt}
      \item Vytvoriť zvukovú stopu resp. systém WordWall umožňuje ozvučiť zapísané Kľúčové slovo a to buď mužským alebo ženským hlasom.\vspace{-5pt}
       \item Po spustení vytvorenej aktivity priamo na stránke WordWall je možné interaktívne vyberať medzi rôznymi šablónami.\vspace{-5pt}
        \item Vytvorené interaktívne pomôcky je možné zdieľať v ľubovoľnom HTML prostredí, teda aj v LMS Moodle. Teda aj v nami používanom LMS Moodle. \vspace{-5pt}
\end{enumerate}

 
Na obrázku \ref{WordWall1} je ukážka produktu WordWall, v ktorej sme použili grafické výstupy z programu GeoGebra a následne sme ju transformovali do LMS Moodle. Táto aktivita je voľne dostupná v kurze \textit{Didaktika matematiky} v knihe \textit{Didaktika matematiky - východiská} v kapitole \textit{WordWall} na adrese \href{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=84464&chapterid=12077}{tu}.
 
 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{WordWall_Moodle.PNG}
    \caption{Aplikácia Wordwall, dostupné \href{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=84464&chapterid=12077}{Tu}. }
    \label{WordWall1}
\end{figure}

\subsubsection{Rovnice na ZŠ}

Súčasná doba si vyžaduje nové postupy vo vyučovacom procese, ktorých cieľom je zvyšovanie aktívnej činnosti žiakov, viesť ich k hlbšiemu pochopeniu učiva na konkrétnych príkladoch s využitím moderných didaktických pomôcok. Prechod od pasívnej k aktívnej činnosti žiakov dosahujeme aplikovaním rôznych prístupov pri vyučovaní matematiky, ktoré prispievajú k lepšiemu porozumeniu preberaného učiva. Jedným z takýchto úspešných prístupov pri vyučovaní matematiky je používanie interaktívnych učebných pomôcok. Takéto učebné pomôcky vo vyučovaní prinášajú možnosť budovania nových poznatkov a sú zdrojom množstva užitočných informácií. v súčasnosti učitelia majú dostatočné možnosti si zvoliť vhodnú interaktívnu učebnú pomôcku, ktorú potom zaradia do vyučovacieho procesu, a tak urobia vyučovací predmet zaujímavejším.

V tejto časti sa budeme venovať ekvivalentným úpravám pri riešení lineárnych rovníc. Začneme problémovou úlohou z učebnice matematiky pre 7. ročník (Šedivý a kol. 2000), ktorá znie:

\vspace{10pt}
\noindent
\textit{Siedmak Ivan rieši so svojou sestrou štvrtáčkou Betkou úlohy na prípravu do prímy osemročného gymnázia. Pomôžte mu Betke vysvetliť, ako sa dá iba z obrázka vyriešiť táto úloha.
Určte hmotnosť kocky.}
\vspace{20pt}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{LinRov_Sedivy1.png}
    \caption{Určte hmotnosť kocky}
    \label{LinRov_Sedivy1}
\end{figure}

Nami vybraná úloha je doplnená názorným ale statickým obrázkom \ref{LinRov_Sedivy1} rovnoramenných váh. Učiteľ pri komentovaní riešenia nemá k dispozícii interaktívny model. Autori učebnice odporúčajú pre učiteľa nasledovný komentár:

\vspace{5pt}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent
VŠIMNIME SI

\textit{ Na rovnoramenných váhach nastane rovnováha vtedy, ak na ľavú aj pravú misku položíme závažia alebo predmety rovnakej hmotnosti. Hovoríme, že medzi hmotnosťami predmetov na oboch miskách váh nastala rovnosť.}

\vspace{5pt}
 \noindent
 RIEŠENIE
 
 \textit{Betka určuje hmotnosť kocky:
 rovnováha sa nezmení, ak z obidvoch misiek odoberiem po dve závažia a po jednej kocke. Hmotnosť jednej kocky je potom súčet hmotností závaží na pravej strane, teda 2 kg.}
\vspace{10pt}
\hrule

\vspace{10pt}

Riešenie je doplnené obrázkom \ref{LinRov_Sedivy2}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{LinRov_Sedivy2.png}
    \caption{Hmotnosť kocky je 2 kg.}
    \label{LinRov_Sedivy2}
\end{figure}

Spôsob spracovania tejto úlohy a je na svoju dobu naozaj skvelý a zaslúži si výborné hodnotenie. Je veľký predpoklad, že žiaci pri používaní tejto učebnice a pri vhodnom výklade učiteľa pochopia zmysel ekvivalentnej úpravy: \textit{pričítanie ľubovoľného (reálneho) čísla k obidvom stranám rovnice}.

Úpravy lineárnych rovníc v spomínanej učebnici sú vysvetľované pomocou modelu váh. Následne sú uvádzané riešené príklady lineárnych rovníc. Určitý problém je v tom, že žiak nevidí dynamickú zmenu na váhach a riešenie príkladu vidí naraz celé. Samozrejme, že priniesť rovnoramenné váhy do triedy nemá zmysel. Dnes však učiteľ si môže vytvoriť (alebo nájsť na internete) interaktívny model váh, ktorý použije pri riešení tejto a jej podobných úloh. V rámci didaktických seminárov sme navrhli model znázornený na obrázku \ref{Linearnerovnice1}. Applet je dostupný \href{https://www.geogebra.org/m/edpytgpn}{Tu}. 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Lineárne rovnice - úloha 1.png}
    \caption{Separovaný model - lineárna rovnica}
    \label{Linearnerovnice1}
\end{figure}

Pomocou tohto dynamického modelu môže učiteľ priniesť do triedy dynamiku a zároveň umožní žiakom interaktívne modelovať situácie súvisiace s riešením lineárnych rovníc. V applete je možné generovať aj nové úlohy. Pomocou šípok, ktoré sú umiestnené pod príslušnými členmi rovnice, môžeme zmeniť zadanie rovnice. 

O niečo inteligentnejší model/applet je znázornený na obrázku \ref{RovnoramenneVahy2}. Model pomocou tlačítka \uv{Nový príklad} vygeneruje nové zadanie lineárnej rovnice. Práca s modelom je rozdelená na tri časti.
\begin{enumerate}
    \item  Po vygenerovaní rovnice je najskôr nutné nastaviť na rovnoramenných váhach množstvá, ktoré odpovedajú vygenerovanej rovnici. Počet predmetov $x$ a počet jednotiek sa nastaví pomocou šípok. Pri chybnom nastavení použijeme tlačítko „Vymazať“ a začnime odznova.\vspace{-5pt}
     \item  V druhej časti budeme riešiť rovnicu pomocou ekvivalentných úprav. Do textového poľa \uv{Pridajte k obidvom ...} vpisujme vhodné hodnoty, ktoré použijeme pri úpravách. Potom zvolíme vhodnú aritmetickú operáciu.\vspace{-5pt}
    \item  Stlačením tlačidla \uv{Opera} vykonáme zvolenú operáciu. Táto operácia sa použije na obidve misky rovnoramenných váh, teda na celú rovnicu. Ak správne zvolíme operácie, rovnica sa bude viac a viac zjednodušovať, až kým nedôjdeme k výsledku.\vspace{-5pt}
\end{enumerate}
 
Upravený model v slovenskej verzii je dostupný na  \href{https://www.geogebra.org/m/dnetcfmf}{https://www.geogebra.org/m/dnetcfmf}. Vychádza z pôvodného appletu "od autora: Rafael Losada Liste, \href{https://www.geogebra.org/u/rafael}{Person Link} Originál: La balanza je dostupný \href{https://www.geogebra.org/search/La%20balanza}{Tu}.  

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{RovnoramenneVahy2.PNG}
    \caption{Generický model - lineárna rovnica}
    \label{RovnoramenneVahy2}
\end{figure}

Pri tejto aktivite je pridaná hodnota aj v sledovaní percenta úspešnosti žiackych pokusov pri riešení lineárnych rovníc. Zaujímavá je tiež skutočnosť, že pri nevhodnom návrhu ekvivalentnej úpravy, model respondenta upozorní oznamom \uv{Táto operácia nezjednodušuje rovnicu.} Na základe týchto inteligentných doplnkov môžeme tento model považovať za generický v zmysle 
 klasifikácie profesora Hejného.
 Pre úplnosť uvádzame ešte GeoGebra \href{https://www.geogebra.org/search/La%20balanza}{link} na iné dostupné modely rovnoramenných váh.

 Na záver uvedieme ešte jednu dynamickú GeoGebra konštrukciu. V dynamickom modeli \uv{Lineárne rovnice ekvivalentné úpravy} znázornenom na obrázku \ref{LinearneRovice_EkvivalentneUpravy} je aplikovaný koncept "ekvivalentných úprav" na riešenie jednoduchých lineárnych rovníc s jednou premennou~$x$. Slovenská verzia tohto modelu je dostupná \href{https://www.geogebra.org/m/ubgef6gb}{Tu}. Popíšeme len niektoré základné funkcie tohto modelu. Jeho obsluha je dostatočne inteligentná na to, aby to zvládol učiteľ na základnej škole.
 \begin{enumerate}
     \item Model automaticky generuje nové zadanie pomocou tlačítka \uv{Nová rovnica}. \vspace{-5pt}
     \item Do textového poľa \uv{Zadajte:} sa vkladajú/vpisujú vhodné hodnoty, ktoré sa použijú pri ekvivalentnej úprave. \vspace{-5pt}
     \item  Zvolíme požadovanú aritmetickú operáciu a aktivujeme tlačítko \uv{Vykonať operáciu}\vspace{-5pt}
     \item Po vyriešení rovnice výsledok zapíšeme do textového poľa \uv{Vaša odpoveď}. Model vypíše, či ste správne vyriešili rovnicu \vspace{-5pt}
 \end{enumerate}
   
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{LinearneRovice_EkvivalentneUpravy.PNG}
    \caption{Lineárne rovnice ekvivalentné úpravy, applet aktivujete \href{https://www.geogebra.org/m/ubgef6gb}{Tu}.}
    \label{LinearneRovice_EkvivalentneUpravy}
\end{figure}

Učiteľ môže s týmto appletom pracovať rôznymi spôsobmi. Môže viesť dialóg so žiakmi, pričom žiaci navrhujú učiteľovi, čo má vpísať, čo stlačiť, \dots. Môže zámerne nesprávne riešiť rovnicu a potom použiť tlačítko \uv{Ukázať pomoc}. S trochou námahy a s minimom znalostí z programovania môže upraviť applet tak, aby generoval aj zložitejšie rovnice. 

Všetky applety v slovenskej verzii použité v tejto sekcii sú výsledkom práce študentov učiteľského štúdia na Fakulte prírodných vied UMB v Banskej Bystrici v rámci praktických cvičení didakticky orientovaných predmetov.  



