\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[slovak,english]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}             
\usepackage[utf8]{inputenc}    
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amscd}
\usepackage{array,hhline}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
    %%\usepackage{titlepage}
    %%\usepackage{multicol}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{url,mathptmx} 
\usepackage{anysize}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}

\newtheorem{theorem}{Tvrdenie}[section]
\newtheorem{remark}{Poznámka}[section]
\newtheorem{definition}{Definícia}[section]
\newtheorem{example}{Úloha}[section]
\newtheorem{proof}{Dôkaz}

\usepackage{hyperref}

\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue,
    filecolor=magenta,      
    urlcolor=blue,
   }

\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}  % pre zvascenie riadkovania

\oddsidemargin 0.2in
\evensidemargin -0.2in
\topmargin -1,5in

\addtolength{\textheight}{0pt}
\addtolength{\textwidth}{2.cm}
\addtolength{\textheight}{2.cm}
\newlength{\verbcorr}
\setlength{\verbcorr}{0ex}

\selectlanguage{slovak}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{arabic}

\include{title}	% Titulna strana

\pagestyle{myheadings}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% obsah

{\setlength{\parskip}{1pt plus 1pt}

\markboth{}{}

\tableofcontents
}

\markboth{}{}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%% obsah - koniec


%%%%%%%%%%%%%%%%%% kapitoly



\section{Vyššie sekundárne vzdelávanie}

Podľa Štátneho vzdelávacieho programu (ŠVP) učebný predmet matematika na stredných školách je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: \uv{Matematická kompetencia je schopnosť rozvíjať a používať matematické myslenie na riešenie rôznych problémov v každodenných situáciách. Vychádzajúc z dobrých numerických znalostí sa dôraz kladie na postup a aktivitu, ako aj na vedomosti. Matematická kompetencia zahŕňa na rôznych stupňoch schopnosť a ochotu používať matematické modely myslenia (logické a priestorové myslenie) a prezentácie (vzorce, modely, diagramy, grafy, tabuľky).} Vzdelávací obsah predmetu je rozdelený na päť tematických okruhov: 
\begin{enumerate}
    \item Čísla, premenná a počtové výkony s číslami \vspace{-7pt}
    \item Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy \vspace{-7pt}
    \item Geometria a meranie \vspace{-7pt}
    \item Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika \vspace{-7pt}
    \item Logika, dôvodenie, dôkazy.
\end{enumerate}
 
Vo vyučovaní matematiky sa na vyššom sekundárnom stupni vzdelávania kladie dôraz na rozvíjanie logického a kritického myslenia žiakov. Učiteľ by mal viesť žiakov cestou objavovania ku schopnosti argumentovať. Dôležitou súčasťou vyučovania je aj \textbf{využívanie moderných didaktických technológií}. Použitie komplexných vzdelávacích systémov a vhodného softvéru by malo uľahčiť niektoré namáhavé výpočty alebo postupy a umožniť tak sústredenie sa na podstatu riešeného problému.  

Kompetencie učiteľov matematiky na strednej škole pri využívaní IKT sú značne rozšírené oproti kompetenciám učiteľov na základnej škole. Na tomto stupni vzdelávania učiteľ by mal byť schopný vytvoriť si vlastný komplexný elektronický študijný materiál. Tu však narážame na generačný problém. Učitelia, ktorí ukončili študijný program učiteľstva v minulom miléniu, nemajú odborné vedomosti z tejto oblasti. Na získanie nových vedomostí v oblasti aplikovania IKT sú viac-menej odkázaní len na samo-štúdium. Napriek tejto nepriaznivej situácii, musíme sa snažiť o čo najširšiu implementáciu nových technológií do matematického vzdelávania na stredných školách.

V ďalšej časti tejto kapitoly prezentujeme dva komplexné študijné materiály vytvorené v~LMS Moodle s integrovanými GeoGebra appletmi. Najskôr sa pokúsime v stručnosti charakterizovať \uv{komplexný elektronický študijný materiál.} V práci (Fančovičová a kol. 2014) sa uvádza:
\\
\uv{\textit{Elektronické vzdelávacie materiály majú svoje špecifické požiadavky na vlastnú tvorbu. Od bežných učebných textov sa v~mnohom líšia. Predovšetkým bohatším členením textu, štruktúrou 
kapitol, problémovými otázkami, ponukou úloh či testov, pričom sú však menej rozsiahle}.} 

Naše skúsenosti pri tvorbe komplexného elektronického študijného materiálu nás viedli k~poznaniu, že takýto študijný materiál by mohol mať nasledovnú štruktúru:
\begin{enumerate}
    \item Stručný úvod a informovanie o cieli.\vspace{-7pt}
    \item Upútanie pozornosti a motivácia využívajúca aj historické pozadie. \vspace{-7pt}
    \item Poskytnutie obsahu \vspace{-7pt}
    
    \begin{itemize}
        \item zavedenie nových matematických pojmov, \vspace{-5pt}
        \item  popísanie vlastností (tvrdení) s dostatočnou argumentáciou (dôkazmi)  \vspace{-5pt}
        \item  interpretácia na vhodných príkladoch  \vspace{-5pt}
    \end{itemize}
    
    \item Úlohy na precvičovanie a domáce zadanie vhodné na upevňovanie nových pojmov a~tvrdení. 
\end{enumerate}

Takto zostavený študijný materiál musí obsahovať dynamické a podľa možností aj interaktívne applety v rôznych špecifických formátoch.  Pre účely komplexného elektronického študijného materiálu nie sú vhodné Power-Pointové prezentácie alebo rozsiahlejšie (viac stranové) PDF materiály. V práci (Fančovičová a kol. 2014) sa konštatuje \uv{  
\textit{Power-Pointová prezentácia vytvorená pre prezenčnú formu vzdelávania - nie je vhodný materiál pre elektronické vzdelávanie pretože neobsahuje žiadne príklady a vysvetlenia, ktoré by nahradili poznámky a príklady prednášajúceho v tradičnom vyučovaní. Podobne poskytnutie 20 stranového dokumentu nie je vhodným materiálom pre elektronické vzdelávanie, pretože rolovanie textu nie je najvhodnejším riešením z hľadiska komfortu študujúceho.}}



Vyššie uvedené požiadavky kladené na komplexný elektronický študijný materiál budeme interpretovať na materiáloch, ktoré boli vytvorené v rámci tvorivých dielní z Didaktiky matematiky v 1. ročníku magisterského štúdia na našej katedre. Budú to:
\vspace{7pt}
\begin{enumerate}
    \item Goniometrické funkcie \vspace{-7pt}
    \item Rezy na hranatých telesách \vspace{-7pt}.
\end{enumerate}
\vspace{7pt}
Pri tvorbe elektronického študijného materiálu musíme si uvedomiť, že \uv{preklopenie} učebných textov využívaných pri bežnom vyučovaní (papierové učebnice a učebné texty, zbierky úloh,  
pracovné zošity a pod.) nie je vôbec postačujúce. Od učiteľa na strednej škole očakávame, že už \textbf{\textit{v súčasnosti dokáže vytvoriť}} kvalitný elektronický študijný materiál v ucelenej podobe. Dnes stredoškolský učiteľ má k dispozícii vhodné materiálne podmienky, ktoré mu umožnia naplnenie tohto cieľa. 


\section{Goniometrické funkcie}
Goniometrické funkcie v matematike\footnote{Pozri \href{https://sk.wikipedia.org/wiki/Goniometrická_funkcia}{https://sk.wikipedia.org/wiki/Goniometrická_funkcia}} sú základom goniometrie. Obvykle sa definujú ako pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka alebo dĺžky určitých častí úsečiek v jednotkovej kružnici. My sa zameriame na definovanie pomocou jednotkovej kružnice, ktoré sa preferuje na  strednej škole. Študijný materiál sme vytvorili v prostredí LMS Moodle s aplikovaním GeoGebra appletov.

    Vo všeobecnosti sa dlhodobo ukazuje, že \uv{Trigonometria} ako jeden z dôležitých aplikačných predmetov matematiky robí študentom (a to nielen na stredných školách) pri učení zásadné ťažkosti. (Adamek at al.2005). Preto je dôležité hľadať nové a účinnejšie vyučovacie prostriedky a metódy, aby sme tento stav zlepšili. Počítače spolu so softvérovým vybavením sú silným a nápomocným nástrojom pri vyučovaní a učení matematiky, najmä pri porozumení matematickým pojmom, ako to poznamenali mnohí autori (Hohenwarter at al. 2007).Úroveň vzdelávacích softvérových aplikácií umožňuje učiteľom ale i žiakom používať ich na počítači bez toho, aby pokročili v znalostiach o počítačoch a programovaní. (Antohe, 2009). Goniometrické funkcie sú tematickým celkom, kde využívanie moderných DGS sa ukazuje ako veľmi efektívne.

V práci (Zengin at al. 2012) bola skúmaná efektívnosť vyučovacej metódy podporovaná počítačovou výučbou, pri ktorej sa využíval softvér GeoGebra. Dnes sa často hovorí o využívaní interaktívnych metód vo vyučovaní matematiky. Zengin tvrdí, že prvým krokom je nutnosť vymeniť klasickú tabuľu a kriedu dynamickým obrazom matematických javov, integrovaných v dynamickom softvéri ako GeoGebra. 

V posledných rokoch sa uskutočnilo množstvo štúdií zameraných na výučbu goniometrických funkcií. Závery týchto štúdií sa zhodujú v tom, že 
\begin{itemize}
    \item Študenti, ktorí dostali \uv{štandardnú výučbu} bez využívania IKT, dosahovali slabšie výsledky, a že nemajú trvalú znalosť o trigonometrických funkciách.
    \item Študenti, ktorí dostali experimentálne inštrukcie, preukázali v testoch silné pochopenie goniometrických funkcií. Väčšina z týchto  študentov dokázala využiť svoje znalosti o goniometrických funkciách. Nemali problém odvodiť a zdôvodniť ich vlastnosti.
\end{itemize}

Tieto zistenia sa potvrdili aj nám, pri využívaní elektronického materiálu \textit{\textbf{Goniometrické funkcie}}. Na schéme \ref{GoniometrickeObsah} je návrh štruktúry tohto študijného materiálu Goniometrické funkcie, ktorý je možné použiť na expozičných vyučovacích hodinách pri skúmaní vlastností goniometrických funkcií na gymnáziách. Materiál je vytvorený na serveri \textit{Virtuálna Univerzita Mateja Bela} v časti \textit{Fakulta prírodných vied (Faculty of Natural Sciences), Katedra matematiky} v kurze \textit{Didaktika matematiky}, ktorý je voľne dostupný na adrese \href{https://lms.umb.sk/course/view.php?id=189}{Tu}.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.35\linewidth]{Kap4GoniometrickeObsah.png}
    \caption{Goniometrické funkcie - obsah}
    \label{GoniometrickeObsah}
\end{figure}

V historických poznámkach tohto študijného materiálu sme použili aj motivačný applet s~názvom \uv{Ptolemaios - definícia funkcie sínus}. V applete pomocou posuvníka pre uhol~$\phi$ a~navigačného panela môže učiteľ priblížiť žiakom základné Hipokratovo  východisko, že \textit{dĺžka tetivy v danom kruhu je funkcia veľkosti stredového uhla}. Applet je funkčný buď priamo na stránke \textit{Historické poznámky} alebo je možné pracovať s ním samostatne na serveri GeoGebra \href{https://www.geogebra.org/m/nbywx2cj}{Tu}. Časť stránky venovaná histórii je znázornená na obrázku \ref{GoniometrickeHist}.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{Kap4GoniometrickeHist.png}
    \caption{Goniometrické funkcie - história}
    \label{GoniometrickeHist}
\end{figure}

Po úvodných a historických poznámkach pristupujeme k poskytnutiu obsahu, kde je nutné zaviesť východiskové pojmy a vzťahy medzi nimi. V našej lekcii o goniometrických funkciách je východiskový pojem pravouhlý trojuholník a  dve ľahko dokázateľné tvrdenia \ref{Tv1}, \ref{Tv2}.
\begin{theorem}\label{Tv1}
V pravouhlom trojuholníku $\triangle ABC$ s uhlami 
$\alpha=\angle BAC, \beta=\angle ABC, \gamma=90^\circ$  uhly $ \alpha, \beta$ sú ostré.
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{Tv2}
Ľubovoľné dva pravouhlé trojuholníky $\triangle ABC,\triangle A'B'C' $ s daným ostrým uhlom $\alpha=\angle BAC=\angle B'A'C'$ sú navzájom podobné.
\end{theorem}

Pri dôkazoch týchto tvrdení učiteľ môže použiť dynamický applet\footnote{Pozri stránku \textit{Goniometrické funkcie - úvod} \href{https://www.geogebra.org/m/tqaejqmf}{Tu}.}, v ktorom je možné meniť polohu vrcholov trojuholníka s pevne daným ostrým uhlom  $\alpha=\angle BAC$. Pri zmene polôh bodov $A,C$ sa nezmenia predpoklady daných tvrdení. Zároveň žiaci pozorujú, že sa nemenia veľkosti uhlov trojuholníkov $\triangle ABC,\triangle A'B'C' $. Takto organizovaný vyučovací proces vytvára v triede bádateľskú atmosféru. Žiaci zrejme v krátkom čase budú vedieť zdôvodniť resp. dokázať tvrdenia \ref{Tv1} a \ref{Tv2} pomocou podobnosti daných trojuholníkov. Zo vzťahu 
 \begin{equation} \label{pod1}
\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}
\end{equation}
žiaci sami ľahko odvodia vzťah
\begin{equation} \label{pod2}
\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},
\end{equation}
kde $a,b,a',b'$ sú veľkosti strán daných trojuholníkov. 

Učiteľ pomocou jednoduchých doplňujúcich otázok vedie žiakov k záveru, že posledný vzťah \ref{pod2} je vlastne tvrdením \ref{Tv3}.

\begin{theorem}\label{Tv3}
Pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník $\triangle ABC$ s daným ostrým uhlom $\alpha$ je pomer odvesien konštantný.
\end{theorem}
\begin{remark}
   Komentár a argumentáciu, ktorú sme použili v predchádzajúcich dvoch odsekoch možno zhrnúť v elektronickom študijnom materiáli do jedného už spomínaného appletu \textit{Goniometrické funkcie - úvod}. 
\end{remark}

 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.759\linewidth]{Kap4Definicia_SinCosTrojuhl.png}
    \caption{Sínus a kosínus v pravouhlom trojuholníku, applet je dostupný \href{https://www.geogebra.org/m/ttuge6nz}{Tu}.}
    \label{SinCos}
\end{figure}

Na základe tvrdenia \ref{Tv3} môžeme zaviesť  definície funkcií sínus a kosínus ako funkcie uhla ostrého uhla v kontexte pravouhlého trojuholníka.

\begin{definition}
Daný je pravouhlý trojuholník $\triangle ABC$ s odvesnami $a,b$, preponou $c$ a uhlom $\angle BAC=\alpha $. \vspace{-5pt}
 \begin{itemize}
  \item Sínus ostrého uhla $\alpha$  v trojuholníku $\triangle ABC$  je pomer dĺžky protiľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony 
\begin{eqnarray*}
    sin(\alpha) = \frac{a}{c}
\end{eqnarray*}
 \item Kosínus ostrého uhla $\alpha$  v trojuholníku $\triangle ABC$
       je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony
\begin{eqnarray*}
    cos(\alpha) = \frac{b}{c}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
 \end{definition}
 Pozri obrázok \ref{SinCos}. Po aktivovaní appletu môže učiteľ meniť veľkosť uhla $\alpha$ a ukázať ako sa menia hodnoty funkcií sínus a kosínus pre ostrý uhol. Pri dynamickej zmene hodnôt~$\alpha=30^\circ,45^\circ,60^\circ$ pomocou posuvníka, dokáže program GeoGebra vypisovať aj iracionálne hodnoty funkcií v zaužívanom matematickom móde. Pri tvorbe appletu by túto skutočnosť mal mať učiteľ na zreteli. Takýmto spôsobom bude u žiakov  upevňovať základné vlastnosti goniometrických funkcií.


\subsection{Jednotková kružnica}
Po týchto motivačných vstupoch učiteľ už môže pristúpiť k jadru preberaného tematického okruhu, k zavedeniu definícií sínus a kosínus. Najskôr ich definuje ako pomer veľkostí strán v pravouhlom trojuholníku a následne svoj výklad zameria na definovanie periodických funkcií pomocou jednotkovej funkcie. 

V úvode tejto kapitoly sme uviedli, že elektronický študijný materiál bude efektívny, ak bude textovo \uv{úsporný}. Takýto úsporný text musí byť doplnený  verbálnym učiteľovým  výkladom, ktorý zahŕňa dynamiku a interaktivitu separovaných modelov. Po zavedení pojmu \textit{Jednotková kružnica} a charakterizovaní vlastností jednotkovej kružnice v odpovedajúcich kapitolách\footnote{Pozrite si kapitoly: Jednotková kružnica, Zobrazenie - vlastnosti \href{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=134432&chapterid=4216}{Tu}.} môžeme uviesť základnú definíciu potrebnú pre definovanie periodických funkcií sínus a kosínus. 
\begin{definition}{Jednotková kružnica}
Kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy, ktorá má polomer $r=1$ sa nazýva jednotková kružnica. 
\end{definition}
Pre naše úvahy bude dôležitý jej priesečník J=[1,0] s kladnou polosou x.
Odpovedajúci applet k tejto definícii je znázornený na obrázku \ref{Zobrazenie_ R}.

\begin{definition}\label{DefZobr1}
    Definujeme zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu $x$ priradí na jednotkovej kružnici práve jeden bod $M$ takto:\vspace{-5pt}
  \begin{enumerate}
      \item Reálnemu číslu  0  priradíme bod $J[1;0] $\vspace{-5pt}
      \item Ak $x > 0 $, tak číslu $x$ priradíme taký bod $M$ jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka $JM$ v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) je rovná číslu $x$. \vspace{-5pt}
      \item Ak $ x < 0 $, tak číslu $x$ priradíme taký bod $M$ jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka $JM$ v zápornom zmysle je rovná číslu $x$. \vspace{-5pt}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Kap4Zobrazenie_ R na kruznicu.png}
    \caption{Zobrazenie množiny reálnych čísel na kružnicu, applet je dostupný \href{https://www.geogebra.org/m/vwquf9ue}{Tu}.}
    \label{Zobrazenie_ R}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=0.75\linewidth, height=9cm]{Jednotkvá kružnica 2.png} 
\caption{Definícia funkcií pomocou jednotkovej kružnice}
\label{JednotKruz1}
\end{figure}

Definíciu \ref{DefZobr1} podrobne interpretujeme pomocou appletu \ref{Zobrazenie_ R}. Snažíme sa žiakov viesť k tomu, aby sami prišli k záveru uvedeného ako tvrdenie \ref{Tv4}.

\begin{theorem}\label{Tv4}
    Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu popísané v definícii \ref{DefZobr1} je surjektívne ale nie je injektívne.
\end{theorem}

Tvrdenie \ref{Tv4} nám umožní korektne definovať zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu $x$ priradí bod $M = [M_x; M_y]$  jednotkovej kružnice. Teda goniometrické funkcie môžeme/vieme definovať pre ľubovoľne veľký uhol pomocou jednotkovej kružnice.

\subsection{Funkcie sínus a kosínus}


\begin{definition}
 Nech $\alpha $ je ľubovoľné reálne číslo a nech $ k=(S, r=1) $ je jednotková kružnica. Potom
 \begin{equation}
  \text{sin} (x) = M_y, \text{cos} (x) = M_x   
 \end{equation}
\end{definition}

V skúmanom študijnom materiáli \textit{Goniometrické funkcie} sme mali na zreteli aj zámer - minimalizovať textovú časť. V kapitole/stránke \textit{Definície pomocou kružnice} sme uviedli minimum textu ale zaradili sme až dva applety. Takýmto spôsobom sme vytvorili značný priestor pre učiteľov výklad a na demonštráciu interaktívnych appletov. Použité applety sú znázornené na obrázkoch \ref{JednotKruz1} a \ref{JednotKruz2} a sú dostupné na stránkach \href{https://www.geogebra.org/m/e67th4qg}{Def18} a \href{https://www.geogebra.org/m/xrbuv5mr}{Def19}.


\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.95\linewidth, height=7cm]{Kap4SinusJednotkova.png}
\caption{Grafy funkcií pomocou jednotkovej kružnice}
\label{JednotKruz2}
\end{figure}

Ako sme už uviedli študijný materiál by mal obsahovať aj úlohy na precvičovanie. Pred zadaním úloh na samostatné riešenie žiakmi je vhodné, aby učiteľ riešil nejaké typické vzorové úlohy. Aj pri tejto aktivite učiteľa vidíme priestor pre dynamickú interpretáciu. Priblížime metódu, ktorá sa javí ako univerzálna pri riešení algebraických úloh, a ktorú sme použili pri riešení úloh v tomto študijnom materiáli. Je to \textbf{metóda Step by Step}, ktorá sa veľmi jednoducho aplikuje v programe GeoGebra pomocou bodov lomu a navigačného panela. 


Vytvorenie appletu doplneného matematickým textom si vyžaduje okrem dobrej znalosti a skúsenosti s programom GeoGebra aj to, že užívateľ (v našom prípade - učiteľ na strednej škole) musí poznať základy písania matematického textu v \TeX -ovskom prostredí. Používanie \TeX \; symbolov v programe GeoGebra je možné pomocou prednastavených  nástrojov \LaTeX vzorec a Symboly. Použitie týchto nástrojov je pomerne jednoduché a nevyžaduje si hlbšie znalosti \TeXu. Pozrite si obrázok \ref{Goniometricke_TextUloha}. 
 \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{Kap4Goniometricke_TextUloha.png}
    \caption{Formátovanie textu v GeoGebre}
    \label{Goniometricke_TextUloha}
\end{figure}
Po zvládnutí jednoduchých \TeX zápisov, môže tvorca elektronického študijného materiálu vytvárať stránky metódou \textit{Step by Step}. Napríklad v nami vytvorenom materiáli Goniometrické funkcie máme vloženú kapitolu, v ktorej prezentujeme riešenie úlohy \ref{Uloh1}.
\begin{example}\label{Uloh1}
   Využitím rovnostranného trojuholníka vypočítajte $\sin(30^ \circ)$, $\cos(30^ \circ)$, $\tan(30^ \circ)$. 
\end{example}


 Možnosti učiteľa pri prezentovaní riešenia tejto úlohy sú možné v dvoch rovinách. Klasická rovina je založená na používaní historicky osvedčených prostriedkov \uv{ kriedy a tabule}. Treba konštatovať, že tento spôsob považujeme za vhodný a typický pre strednú školu.  Má však jednu nevýhodu, že pri písaní na tabuľu učiteľ má obmedzené možnosti sledovať žiakov v triede pri ich činnosti. Táto nevýhoda sa dá eliminovať používaním interaktívnych appletov, ktoré  uplatňujú metódu \textit{Step by Step}. 
 
 Na obrázku \ref{CalculationSin} je zobrazené riešenie úlohy 4.1. pomocou appletu \uv{Calculation of sin and cos}, ktorý je zahrnutý do študijného materiálu a je tiež voľne dostupný na serveri GeoGebra\footnote{Na stránke \href{https://www.geogebra.org/m/bgwpjcjb}{https://www.geogebra.org/m/bgwpjcjb}}.  Učiteľ pomocou navigačného panela prezentuje metódou Step by Step čiastkové kroky pri riešení tejto úlohy. Postupne na interaktívnu tabuľu zobrazuje vopred pripravené \TeX ovské texty a zároveň pridáva vlastný komentár, ktorým približuje špecifiká konkrétneho kroku riešenia danej úlohy. 
 
 Všimnime si, že zapísať napríklad text \ref{v_c} 
 \begin{equation} \label{v_c}
 v_c=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2}})^2=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
 \end{equation}   
 na tabuľu by bolo časovo náročné. Ak učiteľ použije interaktívny applet spojený s krokovaním, tak ušetrí čas. Toto je moment, kedy učiteľ získa časový priestor pre komunikáciu s triedou.
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Kap4Calculation of sin_cos 30_2.png}
    \caption{Metóda Step by Step v GeoGebre.}
    \label{CalculationSin}
\end{figure} 

V závere tejto sekcie popíšeme zmeny na grafe goniometrickej funkcie $y=a.$\text{sin}$(bx+c)$ v závislosti na zmenách parametrov $a,b,c$. Použijeme dynamický model, ktorý voľne dostupný na stránke  \href{https://www.geogebra.org/m/xrbuv5mr}{Function Sine/Cosine}}.

Zmenou veľkosti uhla $\alpha $ pomocou posuvníka \uv{Nastavte veľkosť uhla} môžeme pozorovať ako sa menia hodnoty funkcie sínus na jednotkovej kružnici. Zároveň po ich prenesení z jednotkovej kružnice do pravouhlej súradnicovej sústave môžeme pozorovať aj dynamický bod $Q$ na grafe funkcie sínus. Po de-aktivovaní zaškrtávacieho políčka  \uv{Funkcia sínus} sa applet transformuje na funkciu kosínus. Pri cielenom používaní tohto appletu učiteľ prezentuje základné vlastnosti goniometrických funkcií 
\begin{itemize}
    \item Definičný obor: $D_f= \mathbb{R}$; Obor hodnôt:   
    $H_f =< -1; 1 >$; Nepárnosť sin $(-x) = -$sin $x$; Ohraničenosť a pod.
    \item Prostosť: Funkcia $f$ nie je prostá, čiže nie je ani rýdzo monotónna. Z toho vyplýva, že k nej neexistuje inverzná funkcia.
    
\end{itemize}

Z dynamiky a interaktivity appletu môže učiteľ poukázať  na dôležitú vlastnosť, že reálnym číslam v tvare $x=x_0+2k\pi$, kde $k$ je celé číslo a $x_0$ je pevne zvolené reálne číslo, vždy je priradený ten istý bod na jednotkovej kružnici. To znamená, že hodnoty funkcie sínus sa budú pravidelne opakovať. Takýmto spôsobom priblíži vlastnosť, že funkcia sínus je periodická a jej najmenšia perióda je dĺžka jednotkovej kružnice, t.j.  $2\pi$.

Funkčné hodnoty zloženej funkcií $y=a.$sin$(bx+c)$ zrejme sú závislé od koeficientov $a,b,c$. Vytvorenie dobrej predstavy ako sa mení graf zloženej funkcie je vhodné prezentovať napríklad dynamickým modelom znázorneným na obrázku \ref{Sine wave}. Teraz môžeme zaviesť pojmy
\begin{definition}
    Frekvencia funkcie sínus je číslo ($b$), ktorým je vynásobené premenná $x$ vo funkcii $y=a.$sin$(bx+c)$. 
\end{definition}
Napríklad funkcia $y=$sin$(2x+1)$ má dvojnásobnú frekvenciu ako $y=$sin$(x+1)$. V grafe funkcie sa to prejaví tak, že funkcia $y=$sin$(2x+1)$ má polovičnú periódu. Prezentovaný model umožní učiteľovi demonštrovať aj posun grafu goniometrickej  funkcie sínus v smere osí súradnicovej sústavy.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Kap4Sine wave - shift.png}
    \caption{Zložená funkcia sínus $y=a.$sin$(bx+c)$}
    \label{Sine wave}
\end{figure}


\newpage
\section{Kvadratické rovnice} 

Kvadratické rovnice  sú jednou zo základných tém stredoškolského učiva. Vo všeobecnosti tematický celok \uv{Kvadratické rovnice} sa považuje pre žiakov stredných škôl procedurálne a koncepčne za pomerne náročný.  Viaceré štúdie naznačujú, že \uv{veľa študentov čelí problémom pri učení sa kvadratických rovníc a ich výkon je hlavne slabý} (Harripersaud, 2021). Konceptuálny význam kvadratických rovníc sa vo vyučovaní vo všeobecnosti ignoruje. Študenti zvyčajne inklinujú dodržiavať naspamäť naučené procedurálne pravidlá bez toho, aby premýšľali o ich význame pri riešení kvadratickej rovnice. 

Nedávno sa uskutočnila analýza (Didi¸s Kabar, M. G., 2023)\footnote{Štúdia je dostupná 
\href{https://www.researchgate.net/publication/372184199_A_Thematic_Review_of_Quadratic_Equation_Studies_in_The_Field_of_Mathematics_Education}{Tu}.} výskumov zameraných na preskúmanie efektivity procesu matematického vzdelávania  v tematickom celku kvadratické rovnice. Analyzované boli štúdie realizované v období rokoch 2000 až 2021. Spoločným menovateľom týchto štúdií boli zistenia, že študenti stredných škôl vo viacerých vyspelých krajinách robia približne rovnaké chyby.  Najčastejšie sú to nasledujúce tri kategórie.
\begin{itemize}
    \item Chyba vo výpočtoch, numerické resp. algebraické chyby. \vspace{-8pt}
    \item Problémy správne porozumieť zadaniu (hlavne pri slovných úlohách).\vspace{-8pt}
    \item Slabé algebraické zručnosti pri faktorizácii (rozklade na súčin lineárnych dvojčlenov).  
\end{itemize}

Na riešenie kvadratických rovníc sa používajú rôzne metódy, ako je faktorizácia, dopĺňanie do štvorca, kvadratický vzorec ako aj grafické riešenie. Zdá sa, že kvadratický vzorec má výhodu oproti iným metódam, pretože má univerzálny charakter. Na druhej strane, každá metóda má svoje výhody le i nevýhody. Tradičné vyučovanie  kvadratických rovníc 
\begin{eqnarray}
\label{Kvadr}
ax^2+bx+c=0, a\neq 0,b,c\in \mathbb R
\end{eqnarray}
na slovenských gymnáziách zvyčajne sa zameriava na rozklad kvadratického trojčlena na súčin lineárnych dvojčlenov 
\begin{eqnarray*}
    ax^2+bx+c\; \to \; a(x+x_0)(x+x_1)
\end{eqnarray*}
a na používanie kvadratického vzorca
\begin{eqnarray}
\label{KvadrVzorec}
    x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\end{eqnarray}
Naši učitelia majú tendenciu prehnane zdôrazňovať používanie štandardného kvadratického vzorca \ref{KvadrVzorec}. Menej ponúkajú metódy založené na efektívnych algoritmoch  a na využívaní digitálnych technológií. Učitelia by si mali uvedomiť, že riešenie kvadratických rovníc nie je založené len na zaužívaných postupoch. Mali by vo väčšej miere zaraďovať do vyučovania aj alternatívne metódy a alternatívne spôsoby výučby. Výskum (Tendere and Mutambara, 2020) ukázal, že  je \uv{vhodné začleniť aj historický aspekt riešenia kvadratickej rovnice, manipulatívne alebo technologické nástroje}, ktoré poskytujú študentom alternatívne perspektívy a pomáhajú im učiť sa zmysluplne a koncepčne.

Z didaktického ale aj z psychologického hľadiska je už dlhodobo preukázané, že vyučovanie sa stáva atraktívnejším pre študentov pri používaní historických prístupov. V súčasnosti, vzhľadom na rozsiahlu a dostupnú databázu historických faktov a artefaktov, učiteľ nemá problém  siahnuť po kvalitných historických materiáloch. V nami vytvorenej Moodle knihe \uv{Kvadratické funkcie a rovnice na SŠ\footnote{Dostupné na stránke https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=242204 \href{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=242204}{Tu}}} sme zvolili historickúy zaujímavú hlinenú tabuľku \uv{Tablet YBC 4663 (Mezopotámia asi 1800 pred Kristom)}. 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Kap4Tablet_YBC 04663.PNG}
    \caption{Matematický tablet YBC 4663 vykopaný v Uncertain.}
    \label{tablet4663}
\end{figure}

\hspace{-20pt}Na tomto tablete je už takmer pred štyrmi tisíc rokmi riešená úloha \ref{UlohaTablet}.
\begin{example}
\label{UlohaTablet}
    Súčet dĺžky a šírky obdĺžnika je $6\frac{1}{2}$
 a plocha obdĺžnika je $7\frac{1}{2} $.  Máme nájsť dĺžku a šírku obdĺžnika.
\end{example}

Učiteľ pri interpretácii pôvodného riešenia naznačuje resp. vysvetľuje žiakom, že pisár v Mezopotámii vychádzal zo vzťahov znázornených na obrázku \ref{GeometrDokaz}. Zdôrazňuje, že  veľa podobných problémov je vyriešených na viacerých tabletoch a  rovnakým spôsobom, môžeme sa domnievať, že v Mezopotánie vedeli riešiť kvadratické rovnice typu 
\begin{eqnarray}
\label{Kvadr1}
ax^2+c=bx,
\end{eqnarray}
 kde $a=1,b,c$ sú kladné (reálne) čísla. Matematický dôkaz, že navrhnutý algoritmus môžeme použiť pre výpočet koreňov akejkoľvek kvadratickej rovnice typu $x^2+c=bx$, zrejme v Mezopotámii nepoznali. Až Al-Chvárizmi podal geometrický dôkaz. Nasledujúca časť interpretuje tento dôkaz a je prevzatá z práce (Katz 2009. str. 23). 
\vspace{10pt}

\hspace{-15pt}\textbf{Pôvodné riešenie úlohy \ref{UlohaTablet}}

\hspace{-15pt}Pisár  podrobne popisuje kroky, ktorými prechádza. 
    \begin{enumerate}
        \item Najprv zníži $6\frac{1}{2}$ na polovicu, aby získal $3\frac{1}{4}$.\vspace{-4pt}
        \item Potom odmocní $3\frac{1}{4}$a dostane $10\frac{9}{16}$.\vspace{-4pt}
        \item Od tejto (plochy) odpočítava danú plochu  $7\frac{1}{2}$, čo dáva $3\frac{1}{16}$.\vspace{-4pt}
        \item Odmocnina tohto čísla sa extrahuje $1\frac{3}{4}$.
    \end{enumerate}
   Nakoniec pisár poznamená, že dĺžka je $3\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4} = 5$, zatiaľ čo  šírka je $3\frac{1}{4}-\1\frac{3}{4}=\frac{11}{2}$.   
\vspace{10pt}

Pri ukážke pôvodného riešenia tejto úlohy je vhodné, takmer žiadúce, aby žiaci mali predstavu ako spomínaný tablet  z Mezopotámie vyzeral. A práve tu nastáva moment, keď dnešná technika a internetové zdroje umožňujú prezrieť si dokonalú (vo veľmi vysokom rozlíšení) fotografickú reprezentáciu tabletu. Na obrázku \ref{tablet4663} je tablet, ktorý zobrazuje  \uv{Matematický tablet vykopaný v Uncertain,  uložený v Yale Babylonian Collection, New Haven, Connecticut, USA} a je voľne dostupný na \footnote{Dostupné na stránke https://cdli.mpiwg-berlin.mpg.de/artifacts/254984 \href{https://cdli.mpiwg-berlin.mpg.de/artifacts/254984}{Tu}}.

Z pôvodného riešenia úlohy \ref{UlohaTablet} a ani z ďalších doteraz známych vykopávok nevieme usúdiť, či v Mezopotámii poznali aj dôkaz správnosti používaného algoritmu pri riešení kvadratických úloh. Až  Al-Chvárizmi podal geometrický dôkaz, že použitý postup/algoritmus pri riešení rovnice \ref{Kvadr1}, vedie k jej správnemu vyriešeniu. Je dobré pripomenúť, že Al-Chvárizmiho dôkaz vychádza z Euklidesových Základov a tie boli publikované približne už pred tisíc rokmi. Nasledujúca časť približuje tento dôkaz a vychádza z práce (Katz 2009. str. 23).

Al-Chvarizmi pri riešení rovnice (piateho\footnote{Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi al-Madžusi: Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala.}) typu $x^2+c=bx$ použil veľmi účinnú "substitúciu". Korene rovnice označil ako $p,q$ a zároveň použil "substitúcie" $ p + q = b,\;\;p \cdot q = c $. Tieto rovnosti sú ekvivalentné rovnostiam
\begin{eqnarray*}
\frac{b}{2}=p- \frac{p-q}{2}=q+ \frac{p-q}{2}
\end{eqnarray*}. 

\hspace{-15pt}O ich platnosti sa ľahko presvedčí aj stredoškolák, ak má vedomosti o sčitovaní zlomkov. Z obrázku \ref{GeometrDokaz} vidieť, že $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ predstavuje obsah štvorca so stranou~$\frac{b}{2}$. Obsah tohto \uv{veľkého} štvorca (štvorec má zrejme stranu  rovnú $\frac{p+q}{2} $) je väčší ako pôvodný obdĺžnik s plochou  $ c=p \cdot q $ práve o obsah \uv{malého} štvorca so stranou $\frac{p-q}{2} $. 
  
  \begin{figure}[h]
      \centering
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Kap4Tablet_DynamObrazok.PNG}
      \caption{Geometrický dôkaz od Al-Chvárizmi, applet aktivujte \href{https://www.geogebra.org/m/jtpzgqcp}{Tu}.}
      \label{GeometrDokaz}
  \end{figure}
  
\hspace{-20pt}Po zavedení takéhoto označenia dostaneme
\begin{eqnarray*}
 \left(\frac{p+q}{2}\right)^2=\; p \cdot q +  \left(\frac{p-q}{2}\right)^2. 
\end{eqnarray*}
Obrázok \ref{GeometrDokaz} ukazuje, že ak sa pridá strana tohto \uv{malého} štvorca, konkrétne
\begin{eqnarray*}
\large \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}  \;\;( \text{zrejme} = \frac{p-q}{2})
\end{eqnarray*}
do  $\frac{b}{2}$, tak dostaneme dĺžku $p$. Ak ju odpočítame od $\frac{b}{2}$, dostaneme šírku $q$. Algoritmus je teda vyjadrený vo forme
\begin{eqnarray}
\label{KvadrVzorec}
p=\frac{b}{2}+\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c};\;\;\;\;q=\frac{b}{2}-\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}
\end{eqnarray}.

Možno sa zdá, že takto prevedený grafický dôkaz je dosť náročný. Avšak jeho použitie pri riešení úloh nie je komplikované. Napríklad vyriešiť kvadratickú rovnicu 
\begin{eqnarray*}
    x^2+21=10x
\end{eqnarray*}
reálne znamená najskôr určiť hodnoty $\frac{b}{2}=\frac{10}{2}=5$ a $\sqrt(5^2-21)=2$ a potom spočítať korene
\begin{eqnarray*}
    x_1=5+2=7; \;\;\;\;x_2=5-2=3.
\end{eqnarray*}

Uvedený Al-Chvarizmiho dôkaz je založený síce na algebraickej substitúcii, ale bez geometrickej interpretácie je ťažko pochopiteľný. Ak použijeme dynamický applet, tak interpretácia tejto historickej úlohy sa stane prijateľnou a zároveň motivujúcou aj pre stredoškoláka.

\vspace{10pt}
Po historických poznámkach učiteľ matematiky na vyššom sekundárnom vzdelávaní pristupuje k výkladu a popisu metód používaných pri riešení kvadratických rovníc. V súčasnosti ide o metódy, ktoré sú vhodné pre školskú matematiku. Medzi také metódy zaraďujeme:\vspace{-8pt}
\begin{enumerate}
    \item rozklad kvadratického trojčlena na súčin lineárnych dvojčlenov; \vspace{-8pt}
    \item dopĺňanie do úplného štvorca; \vspace{-8pt}
    \item použitie kvadratického vzorca;\vspace{-8pt}
    \item grafické riešenie pomocou DGS. 
\end{enumerate}

Všetky štyri metódy by mali byť predmetom matematického vzdelávania minimálne na gymnáziách. Naše skúsenosti ukazujú, že vyučovacie hodiny venované tematickému celku \textit{Kvadratické rovnice}, by mali začínať metódou rozkladu. Táto metóda je vlastne zopakovaním úprav algebraických výrazov z prvého gymnaziálneho ročníka.
Nasledovať by mala metóda dopĺňanie do úplného štvorca a až potom použitie kvadratického vzorca. Grafické riešenie je moderná metóda, ktorú v súčasnosti uprednostňujeme. Používame ju v symbióze kvadratickej funkcie a rovnice.   

Z matematického hľadiska nie je významný rozdiel medzi prvou a druhou metódou. V~obidvoch prípadoch je algebraický postup približne rovnaký. Rozklad kvadratického trojčlena (často v literatúre označované faktorizácia) sa opiera o  
 

Z pohľadu úspešnosti riešenia kvadratických rovníc nie je dôležité, ktorú metódu si žiaci zvolia pri ich riešení. Učiteľ by ich mal usmerňovať v duchu \uv{používajte akúkoľvek metódu, ktorú uprednostňujete}. Neskôr keď získajú viac praxe, sami uvidia, kedy a ktorá metóda je najviac užitočná a zároveň výhodná.

\subsection{Metóda rozkladu - faktorizácia}

Teraz z didaktického aspektu podrobnejšie rozoberieme metódu používanú V školskej matematike, ktorá je založená na rozklade kvadratického trojčlena na súčin dvoch lineárnych dvojčlenov. 

\textit{\textbf{Základná myšlienka}} tejto metódy spočíva v tom, že \textbf{\textit{ak dokážeme}} nájsť rozklad v tvare
\begin{equation}
 \label{rozklad}
 x^2 + Bx + C = (x-u)(x-v).
\end{equation}
Potom kvadratický trojčlen (ľavá strana rovnosti \ref{rozklad}) nadobudne nulovú hodnotu pre $x$ práve vtedy, ak súčin na pravej strane je rovný nule.  To nastane presne vtedy, keď je aspoň jeden z faktorov sa bude rovnať nule resp. keď $x = u$ alebo $x = v$. Z toho vyplýva, že vyriešiť kvadratickú rovnicu \ref{Kvadr} znamená nájsť dve čísla $u,v$ s vlastnosťami 
\begin{equation}
\label{viete}
    u+v=-B; \;\;uv=C.
\end{equation}
Toto je štandardná metóda rozkladu (faktorizácie), ktorá sa pripisuje francúzskemu matematikovi  François Vi\`ete (Vi\`ete 1579). 

Nájsť čísla $u,v$ vyhovujúce  \ref{viete} nebýva vždy pre stredoškoláka jednoduché. Väčšinou ide o metódu \uv{pokus-omyl}, ktorá samozrejme nemá algoritmický charakter. Neskôr, keď si žiaci osvoja metódu dopĺňania do štvorca, tak rozklad na súčin lineárnych dvojčlenov sa rieši pomocou dopĺňania do štvorca.

Nedávno sme objavili prácu (Po-Shen Loh, 2019), ktorá popisuje nové, zjednodušené riešenie kvadratických rovníc. Práca je dostupná \href{https://www.interez.sk/matematicky-genius-nasiel-novy-sposob-riesenia-kvadratickych-rovnic-je-ovela-jednoduchsi-ako-ten-doterajsi/}{Tu}.
Po-Shen Loh v práci o svojej  metóde (ďalej len \uv{Loh} tvrdí, že nie novým objavom. Píše:

\vspace{10}
\uv{Jednotlivé kroky tejto metódy samostatne objavili starovekí matematici.} 
\vspace{10}

Zároveň poukazuje aj na zabudnutú prácu (Savage, 1989), ktorá bola publikovaná pred 20 rokmi v The Mathematics Teacher. Savage v nej navrhol podobnú koherentnú metódu riešenia kvadratických rovníc ale jeho prístup nie je technicky správny. 

\textit{\textbf{Základná myšlienka}} Loh metódy spočíva v tom, že budeme hľadať čísla $u,v$ vyhovujúce vzťahu \ref{rozklad} v špeciálnom tvare.
\begin{equation}
\label{viete2}
   u=-\frac{B}{2} + z,\;\;v=-\frac{B}{2} - z
\end{equation}
kde $z$ je nejaká konštanta.

Zrejme platí, že súčet dvoch čísel je rovný $-B$ práve vtedy, keď ich priemer je $-\frac{B}{2}$, a tak stačí nájsť dve čísla v tvare $-\frac{B}{2} \pm z$, ktorých súčin je $C$. Teda namiesto hľadania dvoch neznámych čísel budeme hľadať len jedno číslo $z$. \footnote{Táto substitúcia použitá na riešenie úlohy \textit{nájsť dve čísla vzhľadom na ich súčet a súčin}, bola známa už Babylončanom (Katz, 2009). Objavila sa aj v prvej knihe Diophantus:  Arithmetica (asi 250).}

Súčin $(-\frac{B}{2} + z)(-\frac{B}{2} - z)$ zrejme zodpovedá rozdielu štvorcov. Keďže sa má rovnať $C$, tak  bude platiť
\begin{displaymath}
 \left( -\frac{B}{2} \right)^2 - z^2 =C,
\end{displaymath}
alebo ekvivalentne, práve vtedy, keď $z$ spĺňa rovnosť
\begin{displaymath}
 z^2 = \frac{B^2}{4} - C.
\end{displaymath}
Keďže odmocnina vždy existuje (v prípade potreby sa rozšíri na komplexné čísla),tak hľadané $u$ a $v$ existujú v tvare $-\frac{B}{2} \pm z$, čo môžeme zapísať v tvare
\begin{equation}
 \label{eq:formula-monic}
 -\frac{B}{2} \pm \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}
\end{equation}
sú všetky korene pôvodnej kvadratickej.

\begin{example}
 Riešte rovnicu
    \begin{displaymath}
  x^2 + 2x + 4 = 0.
\end{displaymath}
\end{example}
\textbf{Riešenie}.
Potrebujeme nájsť dve čísla so súčtom -2 a súčinom 4. Použijeme metódu Loh. Ak dve čísla majú súčet -2, tak zrejme majú priemer -1. Hľadáme také číslo  $z$, aby dve čísla v tvare $-1 \pm z$ mali súčin rovný 4 (ich priemer je automaticky -1). Táto podmienka je ekvivalentná s týmito ekvivalentnými rovnicami:
\begin{align*}
 1-z^2 &= 4 \\
 z^2 &= -3.
\end{align*}
Nájsť riešenie poslednej rovnice je jednoduché. V obore komplexných čísel riešením sú komplexne združené čísla $z=\pm i \sqrt{3}$. 

\hspace{-20pt}\textbf{Záver}:  Riešením pôvodnej kvadratickej rovnice sú komplexné čísla $-1 \pm i \sqrt{3}$. 

\vspace{5pt}
\textit{Iracionálne ani komplexné čísla nepredstavujú prekážku pre túto metódu}.
\vspace{5pt}
\subsubsection{Riešenie kvadratickej rovnice s koeficientom $a \ne 1$ metódou \uv{Loh}.}

Nech je daná rovnica $ax^2 + bx+ c = 0$, kde $a$ je nenulové číslo rôzne od jednej. Upravme túto kvadratickú rovnicu na ekvivalentný tvar:
\begin{displaymath}
 x^2 + \left( \frac{b}{a} \right) x + \left( \frac{c}{a} \right) = 0.
\end{displaymath} 
Položme $\frac{b}{a}$ a $\frac{c}{a}$ za $B$ a $C$ vo vzťahu 
\eqref{eq:formula-monic}. Potom pre korene upravenej ekvivalentnej rovnice dostaneme:
\begin{displaymath}
\label{KvadrVzor}
 x_{1,2}=-\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}
 \ = \
 -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
 \ = \
 \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
\end{displaymath}
\hfill $\Box$

Všimnite si, že s týmto prístupom je vytvorený efektívny a zrozumiteľný a ľahko zapamätateľný algoritmus. Namáhavá výpočtová časť sa vyžaduje iba v prípade, že ide o klasický kvadratický vzorec. Vo svetle efektívnosti algoritmu, je však otázne, či má zmysel memorovanie kvadratického vzorca bez pochopenia. 

\begin{remark}
    Je dôležité, aby učiteľ pri odvodzovaní klasického kvadratického vzorca pomocou metódy \uv{Loh} vysvetlil žiakom prečo sme zvolili práve aritmetický priemer $-\frac{B}{2}$ vo vzťahoch \ref{viete2}.
\end{remark}
 
Zdôvodnenie takejto voľby môže učiteľ urobiť napríklad pomocou vlastností vrcholu paraboly, ktorá odpovedá grafu funkcii $y=x^2+Bx+C$. Zrejme platí
\begin{itemize}
    \item Prvá súradnica vrcholu paraboly má hodnotu $-\frac{B}{2}$, čo by si žiaci mali pamätať už z prebratého tematického celku \textit{Funkcie}.  Zároveň učiteľ by si mal uvedomiť aj súvislosť s vyššou matematikou (Ball, 2008). Hodnota derivácie funkcie v tomto bode je nulová, a preto tu nadobúda extrém.
    \item Graf paraboly, ktorý reprezentuje kvadratickú funkciu $y=x^2+Bx+C$ musí byť osovo súmerný podľa priamky $x=-\frac{B}{2}$. Po aktivácii appetu z obrázka \ref{viete3} môžeme pozorovať, že aj priesečníky (korene) $u,v$ musia byť symetricky umiestnené voči bodu $[-\frac{B}{2},0]$.
\end{itemize}
 \begin{figure}[h]
 \label{}
     \centering
     \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Kvadratická rovnica - vzťahy.png}
     \caption{Kvadratická rovnica - vzťahy medzi koreňmi, applet aktivujete \href{https://www.geogebra.org/m/cvr6gazk}{Tu}.}
     \label{viete3}
 \end{figure}
 
\subsection{Metóda dopĺňania do štvorca} 
Táto metóda má viacero výhod a tiež uplatnení.
\begin{enumerate}
    \item Doplnenie do štvorca je veľmi výhodné, ak chceme previesť štandardný/všeobecný tvar na vrcholový tvar.\vspace{-8pt}
    \item Geometrický pohľad na túto metódu: Poskytuje vizuálne pochopenie paraboly a jej vrcholu.\vspace{-8pt}
    \item Je užitočná na odvodenie kvadratického vzorca.\vspace{-8pt}
\end{enumerate}
\vspace{5pt}
Pri metóde dopĺňania do úplného štvorca odporúčame z didaktického hľadiska začínať rovnicou s kvadratickým koeficientom $a=1$, teda s rovnicou
\begin{eqnarray}
\label{KvadrA1}
    x^2+bx+c=0.
\end{eqnarray}
Dokonca odporúčame začať s konkrétnou rovnicou $x^2+10x=39$, ktorej  riešenie je možné graficky pekne interpretovať. Táto rovnica predstavuje (moderné symbolické) zadanie Al-Chvarizmiho úlohy \uv{CHU2}, ktorá sa stala súčasťou snáď všetkých učebníc algebry až do novoveku.Uvádzame jej pôvodné znenie a tiež pôvodné riešenie.
\begin{example}
\label{CHU2}
Štvorec a desať jeho koreňov je rovných tridsiatim deviatim dirhemom.
\end{example}

\vspace{5pt}
\hspace{-20pt}\textbf{Pôvodné riešenie}. Pre „štvorec a desať koreňov rovných tridsiatim deviatim“ Al-Chvarizmi uvádza dva rôzne spôsoby riešenia založené na obrázkoch, ktoré znázornené na obrázku \ref{Kvadr_Rov4}.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\linewidth]{Kap4Kvadr_Rov4Typ.PNG}
    \caption{Rovnica Al-Chvarizmi $x^2+10x=39.$}
    \label{Kvadr_Rov4}
\end{figure}

\hspace{-20pt}\textit{Prvý spôsob}. Najprv sa pozrite na schému vľavo na obrázku \ref{Kvadr_Rov4}. Daný je štvorec (vnútorný štvorec), ktorého strana je neznáme číslo x. Zrejme jeho obsah je rovný číslu $x^2$. Na každej strane tohto štvorca vytvorte obdĺžnik, ktorého druhá strana má dĺžku $\frac{10}{4}$. Obsah takto vytvorených obdĺžnikov je rovný číslu $4(x \frac{10}{4})=10x$. Dostaneme schému pozostávajúcu z vnútorného štvorca spolu so svojimi štyrmi krídlami, ktorá má obsah $x^2 + 10x$, čo je podľa zadania úlohy práve 39.
Potom Al-Chvárizmi navrhuje riešiteľovi rovnice $x^2+10x=39$ 

\vspace{2pt}
„\textbf{Doplňte}“ obrázok pridaním štyroch prerušovaných štvorcov v rohoch.

\vspace{2pt}
\hspace{-20pt}Zrejme ak má vzniknúť nový štvorec, tak musíme pridáť štyri štvorce v rohoch schémy so stranou $\frac{10}{4}$. Štyri pridané štvorce majú spolu obsah rovný číslu $4\frac{100}{16}=\frac{100}{4}=25$. Novovzniknutý štvorec má teda obsah rovný číslu $39+25=64$ a samozrejme jeho strana má dĺžku 8.

Al-Chvárizmiho pokyn:

\hspace{-20pt}Ak chcete nájsť veľkosť strany vnútorného štvorca, tak odpočítajte $2\frac{10}{4}=5$ od 8, čo je rovné číslu 3. Našli ste koreň $x=3$ rovnice $x^2+10x=39.$

Dnes už vieme, že existuje aj druhý koreň tejto rovnice $x_2=-13$. K tomuto zápornému koreňu sa indo-arabskí matematici dopracujú pri riešení kvadratických rovníc piateho typu \ref{Kvadr1}. Vyžili pritom rozklad na súčin dvoch dvojčlenov.  

\hspace{-20pt}\textit{Druhý spôsob}. Teraz sa sa pozrite na schému vpravo\footnote{V pôvodnej Al-Chvarizmiho schéme vonkajší rozmer nie je zhodný so schémou vľavo. Pravdepodobne Al-Chvarizmi chcel takto poukázať na platnosť riešenia rovníc vo všeobecnom tvare $x^2+B=C$.}. Ľavý dolný štvorec má stranu, ktorej veľkosť je neznáme $x$. Na dvoch susedných stranách z nej vytvorte obdĺžnik, ktorého druhá strana je rovná  $\frac{10}{2}$. 

Al-Chvarizmi:

\vspace{2pt}
„\textbf{Doplňte}“ obrázok pridaním štvorca 5 × 5 vpravo hore a zvyšok je jednoduchý. 

\vspace{5pt}
\hspace{-20pt}Fráza \uv{\textbf{\textcolor[rgb]{0.9,0.0,0.0}{Doplnenie do štvorca}}} pravdepodobne pochádza z týchto schém.



\subsection{Kvadratický vzorec}

Použitie kvadratického vzorca je spoľahlivý spôsob, ako vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu. Za mnohých okolností to však môže byť viac práce ako ostatných.
Kvadratický vzorec je odvodený zo štandardného tvaru kvadratickej rovnice \ref{Kvadr}. 
\begin{theorem}
    Riešenie (korene) kvadratickej rovnice $ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0 $  sú buď

\begin{enumerate}
        \item dve rôzne reálne čísla, ak diskriminant $D$ je kladný,\vspace{-10pt}
        \item jedno reálne číslo, ak diskriminant $D$ je rovný nule,\vspace{-10pt}
        \item dve komplexne združené čísla, ak diskriminant $D$ je záporný,
    \end{enumerate}
    
\hspace{-20pt}kde diskriminant $D$ je určený vzťahom $D =b^2-4ac$. Reálne korene môžeme určiť pomocou vzťahu
   \begin{eqnarray}
   \label{KvadrVzorec}
       x_{1,2}= \frac{-\color{blue} b \color{black}\pm \sqrt{\color{blue}b^2-\color{black}4\color{red}a\color{green}c}}{2\color{green}a} 
   \end{eqnarray}
 \end{theorem}
 
\hspace{-20pt}\textit{Dôkaz.\;}
Pri dokazovaní tohto tvrdenia sa v školskej matematike využíva metóda rozkladu kvadratického trojčlena $ax^2 + bx + c$  na "súčin dvoch lineárnych dvojčlenov".  
\hspace{70pt}$\square$

\vspace{10pt}
Riešenie kvadratickej rovnice pomocou vzorca \ref{KvadrVzorec} má univerzálnu použiteľnosť. Podľa Hejného teórie môžeme povedať, že je to univerzálny generický model. Funguje pre akúkoľvek kvadratickú rovnicu, vrátane tých, ktoré sa nedajú ľahko rozložiť na súčin dvojčlenov. Jeho striktné používanie pri osvojovaní tematického celku \textit{ Kvadratické rovnice} však zastiera koncepčnú štruktúru riešenia kvadratických rovníc. Veľkú výhodu má jeho použitie v iných tematických celkoch, ak pri riešení nejakého problému sa ako čiastková úloha objaví kvadratická rovnica.    

Na druhej strane metóda \uv{doplnenie do štvorca} ponúka geometrický pohľad, keď žiaci bezprostredne vidia súvislosť s grafom kvadratickej funkcie. Dopĺňanie je však pomerne náročné, ak koeficienty $a,b,c$ \uv{nie sú pekné}. Napríklad ak majú charakter zlomkov. V takýchto prípadoch žiaci majú problémy pri numerických výpočtoch, čím sa u nich prehlbuje odpor voči matematike ako takej.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Kap4Kvadraticka_Applet1.PNG}
    \caption{Kvadratická funkcia a korene odpovedajúcej rovnice, applet aktivujete \href{https://www.geogebra.org/m/np866va6}{Tu}.}
    \label{KvadrFunkcia}
\end{figure}

Každá metóda má svoje silné ale aj slabé stránky. Výber  metódy často závisí od konkrétnej kvadratickej rovnice a kontextu, v ktorom ju riešime. Toto učiteľ musí mať na zreteli. Musí koncepčne využívať výber metódy, pričom riešenia dopĺňať dynamickými a zároveň interaktívnymi appletmi. Na obrázku \ref{KvadrFunkcia} je nami navrhnutý applet so širším uplatnením. Takýto applet by si mal učiteľ pôsobiaci na gymnáziu vedieť vytvoriť sám.     


\subsection{Využitie DGS pri kvadratických rovniciach}

V applete znázorneného na obrázku \ref{KvadrFunkcia} sa zobrazuje graf kvadratickej funkcie, jej vrchol a nulové body (korene odpovedajúcej kvadratickej rovnice). V applete je možné pomocou posuvníkov meniť koeficienty kvadratickej rovnice resp. funkcie. Pomocou zaškrtávacích políčok (ne)zobrazovať korene kvadratickej rovnice, vrchol a graf kvadratickej funkcie. Veľmi podobnú štruktúru má aj applet znázornený na obrázku \ref{viete3}: Hlavný rozdiel je v zadávaní hodnôt pre koeficienty $a,b,c$. Prvý používa posuvníky a druhý textové polia. Dokonca je možné obidva spôsoby zadávania koeficientov integrovať do jedného bloku. 

Vytvorenie takýchto a podobných appletov si vyžaduje mierne pokročilú znalosť softvéru GeoGebre. V súčasnosti absolventi učiteľského štúdia matematiky (určite aspoň na našej fakulte) takéto zručnosti majú. Učitelia stredných škôl, ktorí neprešli takýmto vzdelávaním, si zručnosti s programom musia zdokonaliť v rámci rôznych postgraduálnych kurzov. 
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{NerovnicaKupcova3.PNG}
    \caption{Riešený príklad - kvadratická nerovnica, applet si aktivujete \href{https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cejzfbjg}{Tu}.}
    \label{Nerovnica3}
\end{figure}
V tejto sekcii poukážeme ešte na jednu zaujímavú aplikáciu GeoGebry pri téme kvadratické rovnice. V procese matematického vzdelávania je úplne prirodzené ale aj nevyhnutné, aby po zavedení matematického pojmu a po popísaní jeho vlastností, prišla etapa precvičovania. V tejto etape musí najskôr učiteľ vyriešiť dostatočné množstvo vzorových úloh (riešených príkladov) a následne žiaci precvičujú prebraté algoritmy a metódy na neriešených úlohách. Mnohí učitelia túto etapu považujú za stereotypnú a ako hlavnú metódu používajú \textit{tabuľu a kriedu}. Pri takomto spôsobe vedenia vyučovacej hodiny mnohokrát dochádza ku kolíziám. Napríklad pri tabuli žiak urobí chybu a učiteľ to postrehne oneskorene. Podobných situácií by sme mohli vylicitovať pomerne veľa. 

Položme si otázku. Môžu nové technológie pomáhať učiteľovo aj takýchto situáciách? Odpovedáme. Áno. Jednu z možností sme už popísali v predchádzajúcich kapitolách. Tá  v tom ,že učiteľ si vopred pripraví kvázi prezentáciu formou Step by Step. Na obrázku \ref{Nerovnica3} je applet z práce \uv{Nerovnosti a nerovnice} našej študentky Ľubice Kupcovej. Prácu vypracovala ako seminárnu prácu\footnote{Práca je voľne dostupná na adrese \href{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=182763&chapterid=5916}{https://lms.umb.sk/mod/book/view.php?id=182763\&chapterid=5916}} v rámci Didaktiky matematiky. Prezentovaný applet je z časti \uv{Riešené úlohy, Kvadratické nerovnice}.

 Tu treba popísať Ľubkin applet

pridať ... applet \ref{Zbierka1} matica-zbierka ... možnosť vrátiť predchádzajúce zadanie

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{ZbierkaKvadraticka_Matice1.png}
    \caption{Zbierka riešených príkladov - kvadratické rovnice. Dostupné \href{https://www.geogebra.org/m/jexkqrqh}{Tu.}}
    \label{Zbierka1}
\end{figure}



\end{document}