\; \text{Určte množinu vrcholov všetkých } \triangle ABC\text{, kde } O\text{ je stredom kružnice opísanej a } T \text{ je ťažisko.

 \text{Postup} 

\text{Nech } A∈\mathbb{E_2} \text{ - ľub. }

 \triangle ABC;  \; k(O,r=AO)\text{ - opísaná}; \; T\text{ - ťažisko

A'=A_1

a)  \; A'=\mathcal{H}\left( T,κ=-\frac{1}{2}  \right)  \text{ rovnoľahlosť ;} A'=A_1

b)  \; a:A'∈a \; ∧ \; a⟂ \; \overleftrightarrow{OA'}\text{ strana } BC\text{ je tetiva opísanej

c)  \;k=(O,r=OA \text{ opísaná; } B,C∈ k∩a

\text{ Hľadáme podmienky, kedy existuje }\triangle ABC

1. \; B, C\text{ existujú, ak }a∩k≠\empty ⇔ |OA'| < |OA| 

2.  \; \text{Nech }O≠A'\;  ∧ \; \mathcal{H}\left( T,κ=-2  \right) \text{ a nech }O'=\mathcal{H}(O),T'=ρ_O(T)

3.  \; ω=(T',r=TT')\text{ - Apolloniova kruž. }⇒ |O'A| < 2|OA|

4. \text{ Odkiaľ dostávame podmienku existencie }\triangle ABC: \pmb{\red {A \in ext(ω})

5. \text{ Prípady: }a) O=A' \text{  - celá rovina; b) A∈\overleftrightarrow{BC}\text{  - prázdna množina

\text{                                         Pohybujte bodmi }A,O,T\text{                                              

T = (5.1058220109356265, 5.849015223701974)
O = (6.014752650969458, 4.651535174133591)
A = (2.6098696184617696, 3.583902358855757)
A' = Dilate(A, -1 / 2, T)
f = Segment(A, A')
g = Line(O, A')
a = OrthogonalLine(A', g)
c = Circle(O, A)
B = Intersect(c, a, 1)
C = Intersect(c, a, 2)
t1, c_1, a_1, b = Polygon(A, B, C)
O' = Dilate(O, -2, T)
T' = Mirror(T, O)
ω = Circle(T', T)
h = Segment(A, O')
i = Segment(A, O)
d = Circle(T', T)