Goniometria (z gréč. gónia - uhol, roh a metron - merať) - oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá goniometrickými funkciami Trigonometria (z gréč. trigónon – trojuholník) - oblasť goniometrie zaoberajúca sa praktickými úlohami súvisiacimi s uhlami a trojuholníkmi (rovinná trigonometria) Uhol Staroveký Babylončania: uhlová miera - delenie plného uhla na 360 stupňov (360◦). Novoveký pohľad: oblúková miera - jednotka radián (Navrhnuté J. Thomsonom v roku 1871). 1 radián je stredový uhol, ktorý prislúcha oblúku s rovnakou dĺžkou, ako je polomer kružnice. Plný uhol má 2π radiánov (= 360◦). Názov „trigonometria“ pochádza z gréčtiny a znamená „merať trojuholník“. Trigonometria nie je dielo jedného človeka, alebo jedného národa; vyvíjala sa počas niekoľkých tisícročí a dotkla sa každej civilizácie. Už cca okolo roku 1900 p.n.l. starí babylonskí astronómovia zaznamenávali polohu a pohyby hviezd, pričom používali základy sférickej trigonometrie. História - http://goniometria.wz.cz/obluk_prehlad.php Trigonometriu obohatili arabský učenci zavedením pojmu sínus ako vzťah medzi polovicou uhla a polovicou tetivy a kosínus ako opak sínusu. Árjabhatta: arddhadžíva (džíva) - dĺžka polovice tetivy. Arabský preklad: džiba ⇒ džaib (Prsia, výstrih, vypuklosť.). 12. storočie, preklad do latinčiny: sinus. V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. V 12. storočí používal Bháskara pravidlo pre sínus súčtu a rozdielu uhlov. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale (0.p/2). Analytický náhled na goniometrické funkce vytvořil Leonhard Euler roku 1748 ve spise Introductio in analysin infinitorum, kde tyto funkce definoval pomocí nekonečných řad a kde také představil Eulerův zápis komplexních čísel: eix = cos(x) + i sin(x). Používal také (téměř) dnešní zkratky pro funkce: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec. Goniometrické funkcie - funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom trojuholníku, v ktorom sú zadané dve jeho strany. Staroveké Grécko - jednoduchý aparát na určovanie času pomocou tyče vrhajúcej tieň určitej dĺžky (cotg). Astronóm Hipparchos - tabuľka trigonometrických pomerov, resp. tetív (Ptolemaios). Trigonometrické veličiny - chápané postupne ako dĺžky, pomery, podiely čísel (zlomky) a čísla. Kedže súcet uhlov v trojuholníku je 180 a jeden uhol má 90, zvyšné uhly majú dokopy tiež 90. Takže každý zo zvyšných uhlov musí byt menší ako 90 (nazýva sa ostrý uhol). Oznacme velkost jedného z nich . Existuje nekonecne vela pravouhlých trojuholníkov s uhlom a všetky sú navzájom podobné (podla vety (uu) o podobnosti trojuholníkov). Z rovnosti a'/a = c'/c dostaneme a'/a = c'/c.Tento pomer dlžok konkrétnych dvoch strán daného pravouhlého trojuholníka je císlo, ktoré závisí iba od velkosti uhla alfa a je pre ktorýkolvek z našich podobných pravouhlých trojuholníkov rovnaké. To císlo charakterizuje iba velkost ostrého uhla alfa. Teda ostrému uhlu alfa sme priradili jediné císlo, ktoré sa rovná pomeru dlžok konkrétnych dvoch strán pravouhlého trojuholníka. Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dlžky protilahlej odvesny ostrého uhla k dlžke prepony. Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dlžky prilahlej odvesny ostrého uhla k dlžke prepony. Tangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dlžok protilahlej a prilahlej odvesny ostrého uhla. Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dlžok prilahlej a protilahlej odvesny ostrého uhla. Kosínus je pomer prilahlej odvesny k prepone. Prilahlá k uhlu beta je odvesna a, teda: cos(beta) = a/c a využijúc beta = 90 - alfa dostaneme sin(alfa) = a/c = cos(beta) = cos(90 - alfa). Vztahy medzi sin a cos resp. tg a cotg: sin(alfa) = cos(90 - alfa); cos( ) = sin(90 - );tg( ) = cotg(90 - ); cotg( ) = tg(90 - ) Úlohy Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C tak, aby platilo c = 6 a sin( ) = 3/4. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C je dané a = 20 a = 34. Vypocítajte b a v_c. Uvažovaním rovnostranného trojuholníka vypocítajte sin(30), cos(30), tg(30), cotg(30). Je daná kružnica k(S; r ), kde r = 3, a bod M s jMSj = 7. Vypocítajte velkost uhla, ktorý zvierajú dotycnice z bodu M ku kružnici k. Zobrazenie množiny R na jednotkovú kružnicu Definujeme zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu priradí na jednotkovej kružnici práve jeden bod. číslu 0 priradíme bod J. . x > 0 priradíme taký bod M jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka JM v kladnom zmysle je práve x. . x < 0 priradíme taký bod M jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka JM v zápornom zmysle je práve |x|. Ktorý bod bude priradený číslu x =π/2? Dĺžka jednotkovej kružnice je 2πr = 2π · 1 = 2π, π/2 je teda štvrtinou tejto dĺžky a pri kladnom čísle meriame v kladnom zmysle, takže číslu x = π/2 bude priradený bod M = [0, 1]. x = π/2 navyše vyjadruje veľkosť uhla JOM v radiánoch. Prevod stupňov na radiány: r = s · 2π/360◦ Prevod radiánov na stupne: s = r · 360◦/2π . Koľko radiánov je 135◦? 135◦ je 135◦·2π/360◦ =2 · 135◦· π/360◦= 270◦/360◦.π =3/4.π . Koľko stupňov je 5/3.π? 5/3.π je 5/3.π·360◦/2π = (5π · 360◦)/(3 · 2π) = 300◦ Ktoré body jednotkovej kružnice sú priradené číslam − π/2 a 19π/2? . Uvedené zobrazenie z množiny reálnych čísel na body jednotkovej kružnice nie je injektívne (dvom rôznym reálnym číslam môže priradiť ten istý bod). . Toto zobrazenie je však surjektívne (každý bod jednotkovej kružnice je priradený nejakému reálnemu číslu). Úloha . Určte všetky reálne čísla, ktorým je priradený rovnaký bod jednotkovej kružnice ako číslu π/2. . Ktoré body jednotkovej kružnice sú priradené číslam x = (2π/5 - kπ/4), kde k ∈ R? . Určte všetky reálne čísla a, pre ktoré je číslam 2π/3 a (π/4 - aπ/5) priradený rovnaký bod jednotkovej kružnice. Definícia funkcie sínus a kosínus pomocou jednotovej kružnice Už sme definovali zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu x priradí bod M = [xM, yM] jednotkovej kružnice. Sínus a kosínus sin(x) = yM, cos(x) = xM Ukážeme si, že definícia sin a cos na jednotkovej kružnici zodpovedá definícii pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku. V pravouhlom trojuholníku s ostrým uhlom x má protiľahlá odvesna veľkosť |MM0| = yM a prepona má veľkosť |OM| = 1. Potom sin(x) = |MM0|/|OM|= yM/1 = yM. Kedže nekonečnému počtu reálnych čísel v tvare x = x0 + 2kπ vždy priradíme ten istý bod na jednotkovej budú sa hodnoty funkcií sin a cos, ktoré sú určené súradnicami tohto bodu, pravidelne opakovať. To znamená, že dané funkcie sú periodické a ich najmenšia perióda je dĺžka jednotkovej kružnice, t.j. 2π. Periodickosť sin a cos sin(x + 2kπ) = sin(x), cos(x + 2kπ) = cos(x) Dôležité hodnoty sin a cos sin(x) 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cos(x) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 pre lepšie zapamätanie sin(x) √0/2 √1/2 √2/2 √3/2 √4/2 cos(x) √4/2 √3/2 √2/2 √1/2 √0/2 symetria sin a cos sin(π + x) = − sin(x), cos(π + x) = − cos(x) sin(2π − x) = − sin(x), cos(2π − x) = cos(x) Úloha . Zistite, či -0.4, 3 alebo √5/2 môže byť hodnotou funkcie sin (pre nejaké reálne x). . Do ktorého kvadrantu patrí M, ak sin(x) < 0 a cos(x) = 0.6? . Pre ktoré x platí sin(x) = cos(x)? . Vypočítajte sin( 16π/3).