Did_Mat: Kvadratické rovnice - písomka; riešenie

Nájdite reálne číslo $\normalsize a$ , pre ktoré má každá z rovníc $\normalsize x^2+(a-2)x+4 = 0, x^2+(a+2)x+16 = 0$ dvojnásobný koreň.

Riešenie.
Kvadratická rovnica má dvojnásobný koreň práve vtedy, ak jej diskriminant je rovný nule. Z tejto podmienky pre rovnice zo zadania dostávame

$\normalsize a^2-4a-12 = 0$

$\normalsize a^2+4a-60 = 0$ .

Odčítaním druhej rovnice od prvej máme po úprave

$\normalsize a = 6$ .
Riešenie použitím Viètových vzťahov

$\normalsize x_1+x_1=-(a-2);\;x_1^2 = 4$

$\normalsize x_2+x_2=-(a+2);\;x_2^2 = 16$ .

odkiaľ prvá sústava dáva

$\normalsize (a-2)= \pm 4$ a druhá

$\normalsize (a+2)= \pm 8$ . Spoločné riešenie je

$\normalsize a = 6$ .

Určte reálne číslo $\small B$ tak, aby rovnica $\normalsize x^2+\small B\normalsize x+10 = 0$ mala dva korene $\normalsize u, v$ , ktorých rozdiel je rovný 3.

Riešenie.
Pre súčet koreňov kvadratickej rovnice platí Viètov vzťah

$\normalsize u+ v= \small -B$ a zároveň má platiť

$\normalsize u - v= 3$ . To predstavuje sústavu dvoch rovníc s neznámymi

$\normalsize u, v$ . Ich riešením získame

$\normalsize 2u= -\small B+3$ a

$\normalsize 2v= -\small B -3$ . Odkiaľ získame

$\normalsize 4uv= \small B^2-9$ a

$\small B=±7$ .

Určte všetky hodnoty reálnych parametrov $\normalsize p;q$ , pre ktoré má každá z rovníc $\normalsize x(x-p) = 3+q; x(x+ p) = 3-q$ v obore reálnych čísel dva rôzne korene, ktorých aritmetický priemer je jedným z koreňov zvyšnej rovnice.

Riešenie.
Z Viètových vzťahov pre korene kvadratickej rovnice (ktoré vyplývajú z rozkladu daného kvadratického trojčlena na súčin koreňových činiteľov) ľahko zistíme, že súčet koreňov prvej rovnice je

$\normalsize p$ , takže ich aritmetický priemer je

$\frac{1}{2}p$ . Toto číslo má byt korenom druhej rovnice, preto

$\frac{p}{2} \cdot \frac{3p}{2}=3-q$ .

Podobne súčet koreňov druhej rovnice je

$\normalsize -p$ , ich aritmetický priemer je

$-\frac{1}{2}p$ , a preto

$\left( -\frac{p}{2} \right) \cdot \left( -\frac{3p}{2} \right) =3+q$ .

Porovnaním oboch vzťahov máme

$\normalsize 3-q = 3+q$ , čiže

$\normalsize q = 0$ a potom vyjde

$\normalsize p = 2$ alebo

$\normalsize p = -2$ . Z oboch nájdených riešení dostaneme tú istú dvojicu rovníc

$\normalsize x(x-2) = 3$ ,

$\normalsize x(x+2) = 3$ . Korene prvej z nich sú čísla -1 a 3, ich aritmetický priemer je 1. Korene druhej rovnice sú císla 1 a -3, ich aritmetický priemer je -1.

Určte reálne číslo $\normalsize p$ tak, aby rovnica $\normalsize x^2+4px+5p^2+6p-16 = 0$ mala dva rôzne korene $\normalsize x_1, x_2$ a aby súčet $\normalsize x_1^2+ x_2^2$ bol čo najmenší.

Riešenie.
Pre korene

$\normalsize x_1, x_2$ danej kvadratickej rovnice (pokiaľ existujú) platia podľa Viètových vzťahov rovnosti

$\normalsize x_1+x_2 = -4p ; x_1x_2 = 5p^2+6p-16$ ,

z ktorých vypočítame skúmaný súčet

$\normalsize x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = (-4p)^2-2(5p^2+6p-16) =$

$\normalsize= 6p^2-12p+32 = 6(p-1)^2+26$ :

Odtiaľ dostávame nerovnosť

$\normalsize x_1^2 +x_2^2 ≥ 26$ , pritom rovnosť môže nastať, len ked

$\normalsize p = 1$ . Zistíme preto, či pre

$\normalsize p = 1$ má daná rovnica skutočne dve rôzne riešenia. Ide o rovnicu

$\normalsize x^2+4x-5 = 0$ s koreňmi

$\normalsize x_1 = -5 ; x_2 = 1$ . Tým je úloha vyriešená.

Na odvesnách $\small AC,BC$ daného pravouhlého trojuholníka $\small ABC$ určte postupne body $\small K,L$ tak, aby súčet $\small \left| AK \right|^2 +\left| KL \right|^2 +\left|LB \right| ^2$ nadobúdal najmenšiu možnú hodnotu a vyjadrite ju pomocou $c=\left| \small AB \right|$ .