Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech $\small q \in N$ je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a $\small p \in Z$ je ľubovoľné celé číslo. Množinu racionálnych čísel $\small Q$ môžeme zaviesť pomocou relácie ekvivalencie na množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel.
Takéto dvojice $\small [p,q]$ môžeme interpretovať aj ako zlomky $\small \frac{p}{q}$.

1. Na množine zlomkov $\small Q= \lbrace{ \frac{a}{b}; a \in Z \wedge b \in N^+}\rbrace$ potom definujme rovnosť zlomkov takto: $\small \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow a.y=b.x$
2. Ukážte, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
3. Popíšte tento rozklad.
• Napríklad trieda rozkladu, ktorá obsahuje zlomok $\small 1/2$ bude obsahovať aj zlomky $\small 2/4,3/6,...$.
• Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
• Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za racionálne číslo.
4. Za „reprezentanta“ racionálneho čísla zvolíme každý zlomok $\small \frac{p}{q}$ , ktorý je v základnom tvare. Teda, keď čísla $\small p,q$ sú nesúdeliteľné a zárove $\small q>0$. Inými slovami, ak zlomok $\small \frac{p}{q}$ už nemôžeme krátiť.
5. Množina racionálnych čísel $\small Q$ je množina všetkých zlomkov v základnom tvare.
   Uveďme aj matematický zápis takejto množiny:$\small Q= \lbrace{ \frac{p}{q}; p \in Z \wedge q \in N^+ \wedge D(p,q)=1}\rbrace$
6. Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel potom môžeme zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Definujte tieto operácie.

Poznámka.
Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.

Cvičenie.
Popíšte číselný obor, ak relácia $\small R \subset N \times N^+$ je daná vzťahom: $\small (m,n) \in R \Leftrightarrow \frac{m-n}{5}$ je celé číslo. (Číslo 5 delí rozdiel $\small m-n$ .)