Číselné obory

Historický vývoj

Prirodzené čísla si ľudia utvárali pri skúmaní vzťahov medzi skupinami reálnych objektov. Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do dvojíc.
Za najdôležitejšie zistenie pri „počítaní objektov“ bol objav ľudstva, pomocou ktorého dokázali odpovedať na otázku:
V ktorej skupine je menej, viac resp. rovnako objektov?
Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky , ktoré slúžili na primitívne určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave v roku 1936.
V siedmom storočí nášho letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu.
Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.
Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.
Ani zavedenie desiatkovej číselnej sústavy v 7. storočí ani značný pokrok v oblasti aritmetiky v 12. až 19. storočí, matematikom sa nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel.
Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký matematik 1823 - 1891) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu:
Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo.1)
Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla axiomaticky. Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín. Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika .
Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz predovšetkým na:
  1. Konštrukciu („vytvorenie“) číselnej množiny („nosiča“).
  2. Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine.
  3. Popísanie základných vlastností aritmetických operácií.
Zavedenie nového číselného oboru znamená, že v prvom rade musíme
  • upopísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla.
  • začneme vytvorením množiny prirodzených čísel.
  • pri každej ďalšej konštrukcii nového číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov.
Uvedieme zjednodušenú ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla.
1) E. T. Bell, Men of Mathematics. New York 1986, str. 477.
\( .\)