Euklides z Alexandrie

Ukážka vety SSS

Ak dva trojuholníky sa zhodujú vo všetkých troch odpovedajúcich si stranách, tak majú zhodné aj odpovedajúce uhly .
Formulácia vety v Euklidových Základoch
    Nech  ABC a  DEF sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany  AB a  AC rovné dvom stranám  DE a  DF , konkrétne  AB rovnajúce sa  DE a  AC rovná  DF  a nech majú základňu  BC rovnú základni EF Hovorím, že uhol  BAC sa rovná aj uhlu  EDF . 
Dôkaz vety  sss podľa Euklida upravený podľa súčasnej terminológie 
  1. Nech trojuholník  ABC je prenesený na trojuholník  DEF tak, aby bod  B bol umiestnený na bode  E a priamka  BC na  EF
  2. Potom bod  C sa prekrýva (zhoduje) s bodom  F , pretože  BC sa rovná  EF .
  3. Ukážeme, že aj úsečka  BA resp.  CA sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou  ED resp.  FD . Budeme dokazovať nepriamo.
    • Nech základňa  BC sa prekrýva (zhoduje) so základňou  EF ale strany  BA a  AC sa neprekrývajú so stranami  ED a  DF (zobrazia vedľa ako  EG a  GF ). Uvažujme prípad, keď bod  G bude v polrovine  \vec{DFL} :
    •    
    • Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I ) vyplýva:
      • Keďže trojuholník  EDG je rovnoramenný, tak uhol  DGE rovná uhlu  GDE
      • Z polohy bodu  G vyplýva, že uhol  GDE je väčší ako uhol  GDF .
      • Tiež trojuholník  GDF je rovnoramenný, preto aj uhol uhol  GDF rovná uhlu  DGF
      • Z polohy bodu  G vyplýva, že uhol  GDF väčší ako uhol  GDE , čo je spor.
      • Preto musí byť bod  D totožný s bodom  G
    • Podobne postupujeme v prípade, ak bod  G bude v polrovine  \vec{DFE} .
  4. Ukázali sme, že strana  BA resp.  AC sa prekrýva so stranou  ED resp.  DF . To znamená, že uhol  BAC sa rovná uhlu  EDF
  5. Teraz stačí použiť vetu  sus a dostávame tvrdenie: trojuholníky   ABC a  DEF sú zhodné. 
          ___________________________________________________________________________________________________
1) V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).  Český preklad vety sss. 
\( .\)