Grécka matematika
Euklides z Alexandrie
Ukážka vety SSS
Ak dva trojuholníky sa zhodujú vo všetkých troch odpovedajúcich si stranách, tak majú zhodné aj odpovedajúce uhly
.
Formulácia vety v Euklidových Základoch
-
Nech a
sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany
a
rovné dvom stranám
a
, konkrétne
rovnajúce sa
a
rovná
a nech majú základňu
rovnú základni
. Hovorím, že uhol
sa rovná aj uhlu
.
- Nech trojuholník je prenesený na trojuholník tak, aby bod bol umiestnený na bode a priamka na .
- Potom bod sa prekrýva (zhoduje) s bodom , pretože sa rovná .
- Ukážeme, že aj úsečka resp. sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou resp. . Budeme dokazovať nepriamo.
- Nech základňa
sa prekrýva (zhoduje) so základňou
ale strany
a
sa neprekrývajú so stranami
a
(zobrazia vedľa ako
a
). Uvažujme prípad, keď bod
bude v polrovine
:
- →
- Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I ) vyplýva:
- Keďže trojuholník je rovnoramenný, tak uhol rovná uhlu .
- Z polohy bodu vyplýva, že uhol je väčší ako uhol .
- Tiež trojuholník je rovnoramenný, preto aj uhol uhol rovná uhlu .
- Z polohy bodu vyplýva, že uhol väčší ako uhol , čo je spor.
- Preto musí byť bod totožný s bodom .
- Podobne postupujeme v prípade, ak bod
bude v polrovine
.
- Ukázali sme, že strana resp. sa prekrýva so stranou resp. . To znamená, že uhol sa rovná uhlu .
- Teraz stačí použiť vetu a dostávame tvrdenie: trojuholníky a sú zhodné.
1) V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ). Český preklad vety sss.