Geometria trojuholníka
Zhodnosť a podobnosť trojuholníkov
Podobnosť
Definícia.
Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.
Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.
Trojuholník je podobný trojuholníku , práve vtedy keď existuje kladné číslo
také, že pre ich strany platí:
a pre ich uhly platí:
Definícia.
Pomer nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov. Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:
Pomer nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov. Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:
Veta Euklides Základy, Kniha VI, Tvrdenie 2.
Ak je priamka nakreslená rovnobežne s jednou zo strán trojuholníka, potom proporcionálne pretína strany trojuholníka.
A ak sú strany trojuholníka rezané proporcionálne, potom čiara spájajúca body rezu je rovnobežná so zostávajúcou stranou trojuholníka. (Tvrdenie Tu.)
Ak je priamka nakreslená rovnobežne s jednou zo strán trojuholníka, potom proporcionálne pretína strany trojuholníka.
A ak sú strany trojuholníka rezané proporcionálne, potom čiara spájajúca body rezu je rovnobežná so zostávajúcou stranou trojuholníka. (Tvrdenie Tu.)
Veta Euklides Základy, Kniha VI, Tvrdenie 4.
V rovnouholníkových trojuholníkoch sú strany okolo rovnakých uhlov proporcionálne, kde zodpovedajúce strany sú opačné ako rovnaké uhly. (Tvrdenie Tu.)
V rovnouholníkových trojuholníkoch sú strany okolo rovnakých uhlov proporcionálne, kde zodpovedajúce strany sú opačné ako rovnaké uhly. (Tvrdenie Tu.)
Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.
Rozbor.
Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku so stranami .
Otvorte Tu
Diskusia. Úloha má práve jedno riešenie, ak výšky spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.
Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.
- Hľadajme súvislosti medzi výškami trojuholníka a jeho stranami. Použijeme vzťah pro obsah trojuholníka: .
- Z neho vyplýva, že a teda .
- Označme
- Uvažujme o ľubovoľnom trojuholníku so stranami .
- Takýto trojuholník je podobný trojuholníku , lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.
Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku so stranami .
- V trojuholníku označme jeho výšky .
- Zrejme platí: . Toto tvrdenie vyplýva z analýzy urobenej v druhom bode rozboru tejto úlohy.
- Po úprave dostaneme .
- Konštrukciu začneme zostrojením trojuholníka so stranami
Otvorte Tu
Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.