Planimetria a stereometria

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ jeden spoločný bod: $k \cap u = U$ a os kolineácie pretína v dvoch bodoch $T, R$.
Riešenie
Keďže kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ spoločný práve jeden bod, tak obrazom bude parabola.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej dve dotyčnice $t, r$ s dotykovými bodmi $T, R$.
2. Pri použití lichobežníkovej metódy nám stačí zostrojiť obrazy dotyčníc $t,r$.
3. Zostrojme priesečník/úbežník $U_t$ a smer $SU_t$ .
4. Obrazom dotyčnice $t$ bude priamka prechádzajúca samodružným bodom $T$, ktorá je rovnobežná so smerom $SU_t$ .

Poznámka. V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" paraboly nástroj "Množina bodov".

Lichobežníková metóda, pri ktorej zostrojíme priamo vrchol paraboly $V$ a ohnisko $F$ sa opira o vetu¹⁾:

Veta
Spojnica priesečníka dvoch rôznych dotyčníc paraboly so stredom tetivy určenej ich dotykovými bodmi je rovnobežná s osou paraboly.

1. Veďme bodom $R$ kolmicu $k$ k smeru osi paraboly. Smer osi paraboly zostrojíme podľa predchádzajúcej vety.
2. Bodmi $A, B$ veďme rovnobežky s osou, ich priesečníky s kolmicou k označme $C, D$.
3. Vrchol $V$ paraboly zostrojíme ako priesečník priamok $AC, BD$.
4. Os paraboly prechádza vrcholom a je rovnobežná s $RS_{AB}$.

Ku konštrukcii ohniska môžeme využiť napr. vrcholovou dotyčnicu $(V ∈ t_V, t_V ⊥ o)$, na ktorej ležia päty všetkých kolmíc spustených z ohniska na dotyčnice paraboly. Body $A, B, C, D$ (nie nutne v tomto poradí) sú vrcholy lichobežníka (ak nie je spojnica $AB$ kolmá na os paraboly), podľa ktorého dostala táto konštrukcia svoj názov.