Hilbertov axiomatický systém

Východiská


Hilbertov axiomatický systém1) sa opiera o šesť primitívnych pojmov. Tieto pojmy sú začlenené do dvoch skupín:
  1. Primitívne objekty
    • body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy  A , B , C , ... ;
    • priamky - na označenie používame malé písmená  a , b , c , ... a
    • roviny - označujeme malými gréckymi písmenami   \alpha, \beta, \gamma , ... .
  2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
    • incidencia -  A ∈ a ["bod  A leží na priamke  a ", "priamka  a prechádza bodom  A ", "bod  A a priamka  a sú incidentné"].
    • vzťah "medzi" -   \mu(ABC)  [usporiadanie troch kolineárnych bodov  A , B , C , kde bod  B leží medzi bodmi  A , C  ]; používa sa aj označenie  A \ast B \ast C  2)
    • zhodnosť (kongruencia) - u \cong v ["úsečka  u je zhodná s úsečkou  v "], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
    Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o vzťahoch medzi nimi.

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.
  1. axiómy incidencie
  2. axiómy usporiadania
  3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
  4. axióma o rovnobežnosti
  5. axiómy spojitosti
  6. Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.
_________________________________________________________________________
1) David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie). 1899.
2) Chalmovianská, J.: Axiomatika euklidovskej roviny. Dostupné na internete http://fractal.dam.fmph.uniba.sk/~pilnikova/g2/Hilbert-axiomy.pdf
\( .\)