Planimetria a stereometria

Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu - vlastnosti

Ukážeme, že zobrazenie nie je injektívne. Dvom rôznym reálnym číslam môžeme priradiť ten istý bod.

1. Skúmajme, do ktorého bodu jednotkovej kružnice sa zobrazí číslo $\frac{ \pi}{2}$.
   
2. Obvod jednotkovej kružnice je rovný číslu $2\pi$.
3. Dĺžka oblúka $JM$ predstavuje $\frac{1}{4}$ štvrtinu dĺžky celej kružnice (bod $J=(1,0)$ ).
4. Číslo $\frac{ \pi}{2}$ je $\frac{1}{4} 2\pi$, čo predstavuje štvrtinu celého obvodu kružnice
5. Preto sa číslo $\frac{ \pi}{2}$ zobrazí do bodu $M$ .
6. Uvažujme o čísle $\frac{5 }{2} \pi = 2\pi+\frac{ \pi}{2}$, čo predstavuje jeden a štvrť obvodu kružnice.
7. Preto sa aj číslo $\frac{5 }{2} \pi$ zobrazí do bodu $M = (0,1)$. Celá kružnica plus jedna jej štvrtina.

Zovšeobecnením tohto procesu zistíme, že všetky čísla tvaru $2k\pi+\frac{ \pi}{2}$ sa zobrazia do bodu $M = (0,1)$ pre $k \in R$. Zobrazenie nie je injektívne.
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka $JM$. Zobrazenie je surjektívne.

Záver
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.