Planimetria a stereometria

Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru $U$ tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete.

V prvom kroku merania (určovania obsahu útvaru) si zvolíme štvorcovú sieť $S_{e_1}$ s rozmerom $e_1$. (Napríklad $1 dm$).

1. Jednotka miery je štvorec $E_1$ so stranou $e_1$ a podľa dohovoru pre jeho veľkosť/obsah $S(E_1)$ platí $S(E_1)=(e_1)^2$.
2. Určíme všetky štvorce, ktoré patria do jadra $J_1$
3. Nech $n_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do jadra útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
   $S(J_1)=n_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru.
4. Podobne postupujeme pri určovaní obsahu obalu. Spočítame všetky štvorce, ktoré patria obalu $O_1$ meraného útvaru $U$.
5. Nech $m_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do obalu útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
   $S(O_1)=m_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje horný odhad obsahu meraného útvaru.
6. Po prvom meraní dôjdeme k záveru, že pre obsah $S(U)$ útvaru $U$ platí
   $n_1 \cdot (e_1)^2 \leq S(U) \leq m_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru. Ak nám takýto odhad nestačí, zjemníme štvorcovú sieť.

V druhom kroku merania zvolíme menšiu jednotkovú úsečku $e_2= \frac{1}{10} e_1 \Leftrightarrow e_1=10e_2$. (Napríklad $1cm$).

1. Teraz jednotka miery je štvorec $E_2$, ktorý má 100 násobne menší obsah ako štvorec $E_1$. Pre jeho obsah platí $S(E_2)=\frac{1}{100}e_1$.
2. Zrejme platí, že každý štvorec z jadra $J_1$ obsahuje 100 menších štvorcov zjemnenej štvorcovej siete.
    

3. Tieto menšie štvorce určite patria do jadra $J_2$, ktoré bolo vytvorené v zjemnenej sieti. Preto platí
   $J_1 \subset J_2 \subset U \Leftrightarrow S(J_1) \leq S(J_2) \leq S(U)$
4. Analogické vzťahy platia aj pre obsah obalu:
   $U \subset O_2 \subset O_1 \Leftrightarrow S(U) \leq S(O_2) \leq S(O_1)$.
5. Z predchádzajúcich vzťahov a po $n$ krokoch zjemňovania siete dostaneme
   $S(J_1) \leq S(J_2) \leq \cdot \cdot \cdot S(J_n) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(U) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(O_n) \cdot \cdot \cdot \leq S(O_2) \leq S(O_1)$.

Potom zrejme postupnosť ${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ je neklesajúca, zhora ohraničená a postupnosť ${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ je nerastúca, zdola ohraničená. Členy postupnosti ${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ sú dolné ohraničenia a členy postupnosti ${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ sú horné ohraničenia veľkosti útvaru $U$ a limity týchto postupností sa rovnajú hodnote $S(U)$.