Planimetria a stereometria

Uhol dvoch priamok sme definovali ako uhol dvoch ľubovoľných nedisjunktných priamok rovnobežných s danými priamkami. Pri uhla priamky a rovinou budeme potrebovať pojem kolmého priemetu priamky do roviny.
Nech $a$ je priamka, ktorá nie je kolmá na danú rovinu $\alpha$. Nech $\lambda$ je rovina kolmá na danú rovinu $\alpha$, ktorá prechádza priamkou $a\; ( a \subset \lambda)$. Rovinu $\lambda$ budeme nazývať kolmo premietajúca rovina priamky $a$. Priesečnicu $a_1=a\cap \lambda$ nazveme kolmý priemet priamky do roviny.

Otvorte si applet Tu

Definície

1. Uhlom priamky $a$ s rovinou $\alpha$, ktorá nie je kolmá na $\alpha$, nazývame uhol priamky $a$ s jej kolmým priemetom $a_1$ do roviny $\alpha$.
   $\varphi= \sphericalangle (a, \alpha)= \sphericalangle (a, a_1)$
2. Ak je priamka kolmá na rovinu, hovoríme, že jej uhol s rovinou je pravý.
3. Uhlom dvoch rôznobežných rovín $\alpha, \beta$ nazývame uhol priamok $a \subset \alpha,b \subset \beta: a \bot \alpha \cap \beta, b \bot \alpha \cap \beta$, ktoré sú kolmé na priesečnicu $p=\alpha \cap \beta$.

Cvičenie - riešenie v 2D.
Daná je kocka $\small ABCDEFGH$ a body $\small L,M,N$ tak, že platí $\small (AEL)=(DHM)=(CGN)=-1$. Určte konštrukčne uhol

1. priamok $\small AM,HN$
2. priamky a roviny $\small LG,ADE$
3. rovín $\small LHF,HEG$

Otvorte si zadanie pre prípad i.) Tu.

Poznámky

1. Uhol dvoch rovnobežných rovín nazývame nulový uhol.
2. O rovinách, ktorých uhol je zhodný s pravým uhlom hovoríme, že sú navzájom kolmé.

Tvrdenie Uhol priamky s rovinou je zhodný s doplnkovým uhlom k uhlu priamky s kolmicou na túto rovinu.

Dôsledok
Uhol dvoch rovín je zhodný s uhlom priamok kolmých na tieto roviny.

Obr. prevzatý z práce Klenková P., Stereometria, 2006

Tvrdenie - kritérium kolmosti rovín
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, ak jedna z rovín obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.
(Takúto priamku obsahuje prirodzene každá z rovín na seba kolmých. Stačí, ak jedna z rovín je rovnobežná s priamkou kolmou na zvyšnú rovinu.)

Cvičenie- riešenie v 3D.
Daný je pravidelný trojboký hranol $\small ABCDEF$, ktorého stenové pravouholníky sú štvorce. Zostrojte uhol zhodný s uhlom priamok $\small BF, AC$ a výpočtom určte jeho veľkosť. Zadanie otvoríte Tu. Riešenie Tu