Planimetria a stereometria

Dohovor
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín $\alpha, \beta, \gamma$ vyskytne dvojica rovín navzájom rovnobežných, tak bez ujmy na obecnosti ju označíme $( \alpha, \beta)$ (lexikografický prístup).
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica $( \alpha, \gamma )$ alebo $( \beta, \gamma )$.

Tvrdenie
     Pre roviny $\alpha, \beta$ platí práve len jedno z nasledujúcich tvrdení:
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow \; (\alpha \cap \beta=\emptyset)$
$(\alpha \nparallel \beta) \; \Leftrightarrow\; ( \alpha \cap \beta= \lbrace{p}\rbrace )$.

Klasifikácia vzájomnej polohy troch rovín

1. Nech platí $\alpha \parallel \beta$. Pre rovinu $\gamma$ potom platí: alebo $\alpha \parallel \gamma$ alebo $\alpha \cap \gamma = \{ b \}$
1. Uvažujme o rovinách $\alpha, \beta, \gamma$, pre ktoré $\alpha \parallel  \beta$, $\alpha \parallel \gamma$. Obrázok vľavo. Z tranzitívnosti relácie rovnobežnosti rovín vyplýva záver: $\alpha, \beta, \gamma$ je trojica navzájom rôznych rovnobežných rovín. 
   
2. Nech platí: $\alpha \parallel \beta$  ∧  $\alpha \cap \gamma =\{ b \}$. Dôsledkom je rôznobežnosť rovín $\beta, \gamma$ (v opačnom prípade by boli všetky tri roviny navzájom rovnobežné, čo je spor s predpokladom). Je zrejmé, že priesečnice dvojíc rovín$( \alpha, \gamma) ,( \beta, \gamma )$ sú navzájom rovnobežné priamky. (Odôvodnite.) Záver: Roviny $\alpha \beta ,$ sú navzájom rovnobežné a rovina $\gamma$ ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach $b = \alpha \cap \gamma ; a = \beta \cap \gamma$. Obr. vpravo.
2. Nech platí: $\alpha \cap \beta =\{ c \}$. Skúmajme vzájomnú polohu priamky $c$ s rovinou $\gamma$. Môže nastať práve jeden z prípadov: ($c \subset \gamma$ alebo $c \cap \gamma =\small M$ alebo $c \cap \gamma = \emptyset$.


1. V prvom prípade majú tri roviny spoločnú práve jednu priamku. 
2. V druhom prípade platí $\alpha\cap \beta=\{ c \} , c\cap \beta = \{ \small M \}, \alpha \cap \beta \cap \gamma = \{ \small M \}$. Záver: Roviny majú spoločnú práve jednu priamku.
3. Platí $a \parallel b \parallel c$. Záver: Všetky dvojice rovín sa pretínajú a tieto priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežky.

Tvrdenie. Existuje päť vzájomných polôh troch navzájom rôznych rovín:

1. všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné
2. dve rovnobežné roviny pretína tretia v navzájom rovnobežných priamkach
3. všetky tri roviny majú spoločnú práve jednu priamku (os zväzku rovín)
4. všetky tri roviny majú spoločný práve jeden bod
5. všetky dvojice rovín sú navzájom rôznobežné roviny a ich priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežné priamky.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006