Planimetria a stereometria

Definície - rovnobežnosť

1. Priamky $a,b$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak $a = b \; (a \equiv b)$ alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
   $a \parallel b \Leftrightarrow (a = b) \vee ( \exists \alpha : a \cup b \subset \alpha \;\wedge \;a \cap b = \emptyset)$
2. Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak priamka $a$ leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
   $a \parallel \alpha \Leftrightarrow (a \subset \alpha ) \vee (a \cap \alpha = \emptyset)$
3. Dve roviny $\alpha, \beta$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
   $\alpha \parallel \beta \Leftrightarrow ( \alpha= \beta ) \vee ( \alpha\cap \beta = \emptyset)$

Poznámky

1. Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
2. Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
3. Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.

Tieto tvrdenia sa ľahko dokážu pomocou dichotomického princípu vzhľadom na prienik daných útvarov. Napríklad:

1. Prienik $\small P$ $=a \cap b$ dvoch priamok môže byť buď prázdna množina alebo neprázdna.
   • V prvom prípade sú priamky buď rovnobežné - ak ležia v jednej rovine, alebo mimobežné - ak neležia v jednej rovine.
   • V druhom prípade môže prienik $\small P$ $=a \cap b$ obsahovať jeden bod - priamky sú rôznobežné alebo viac bodov oboch priamok - priamky sú totožné (axióma I1).

Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou $a'$ roviny $\alpha$ ($a' \subset \alpha$). Symbolicky
$a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a$.

Dôkaz - pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky $a$ a roviny $\alpha$

1. Nutná podmienka (dôkaz implikácie): $(a \parallel \alpha )\Rightarrow (\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a)$. V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady:
   1. $(a \subset \alpha) \Rightarrow ( \exists a'=a; \;a \parallel a')$.
   2. $a \cap \alpha = \emptyset$:
      Nech $\small P$ $\in \alpha$ je bod ľubovoľný bod. Keďže $\small P$ $\notin a$, tak existuje práve jedna rovina 
      $\beta=(a,\small P )$
      a priesečnica
      $a'= \beta \cap \alpha$,
      pričom bude $a \cap a'= \emptyset$. V opačnom prípade by existoval bod $\small A$ $\in a \cap a'$, ktorý by bol spoločným bodom priamky $a$ a roviny $\alpha$.
      To je spor s predpokladom $a \cap \alpha= \emptyset$. Záver: $a \parallel a'$.
      Otvorte si applet Tu
2. postačujúca podmienka - $(\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a) \Rightarrow (a \parallel \alpha )$. Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok $a,a'$:
   1. $(a = a' \subset \alpha ) \Rightarrow (a \parallel a') \Rightarrow ( a \parallel \alpha)$.
   2. $(a \cap a' = \emptyset \; \wedge \;a \parallel a') \Rightarrow ( a \cap \alpha =\emptyset ) \Rightarrow (a \parallel \alpha)$.
      Dokázať, že $a∩ α = ∅$ môžeme aj nepriamo. Nech bod $\small A \in a\cap \alpha )$ a nech $\beta=(a,a')$, potom
      $a'=\alpha \cap\beta$ a zároveň $\small A \in \alpha \cap \beta$.
      Odkiaľ dostávame, že $\small A \in a'$ a teda bod $\small A \in a\cap a'$, čo je spor s rovnobežnosťou týchto priamok. Záver: $a \parallel \alpha$.
      

      $\small \blacksquare$

Tvrdenia : relácia rovnobežnosti má nasledujúce vlastnosti

1. $a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c$
2. $a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta$
3. $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta$
4. $a \parallel b \;\wedge \;b \parallel \alpha \; \Rightarrow a \parallel \alpha$
5. $\alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma$

Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.

Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny $\alpha, \beta$ sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky $a,b \in \alpha$, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou $a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta$. Symbolicky
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b')$.

Dôkaz 

1. Nutná podmienka - $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \cdot \cdot \cdot$. Môžu nastať dva prípady:
   1. $(\alpha=\beta)\Rightarrow((\exists a,b \subset \alpha)\wedge (\exists a'=a,b'=b))\Rightarrow a\parallel \beta \wedge b\parallel \beta$.
   2. $\alpha\cap \beta = \emptyset$: Potom existujú rôznobežky $\exists a,b \subset \alpha$, pre ktoré platí $a\cap \beta = \emptyset, b\cap \beta = \emptyset$. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj $\alpha\cap \beta \neq \emptyset$, čo je spor s predpokladom.
      . Otvorte si applet Tu
2. postačujúca podmienka - $(\exists a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta ) \wedge (a\parallel a',b\parallel b') \Rightarrow )\alpha\parallel \beta )$. Teoreticky môžu nastať tri prípady:
   1. ak $\alpha= \beta$, tak z definície $\alpha \parallel \beta$;
   2. ak $\alpha\cap \beta = \emptyset$, tak z definície $\alpha \parallel \beta$;
   3. prípad $\alpha \neq \beta \wedge \alpha\cap \beta \neq \emptyset$ nemôže nastať. Ak by nastal bol by v spore s existenciou dvojíc priamok: $(\exists a,b \subset\alpha, a',b'\subset\beta)\wedge (a\parallel a',b\parallel b')$. Dokážeme to nepriamo:
      Nech existujú rôznobežky
      $a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta$
      s požadovanou vlastnosťou $a\parallel a',b\parallel b'$ a nech roviny $\alpha,\beta$ majú spoločnú priamku
      $p$: $\alpha \cap \beta=p$.
      
      Táto priamka $p$ pretína aspoň jednu rôznobežku $a,b$ (môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka $a$. Označme $p \cap a =\small A$ . To ale znamená, že bod $\small A \in a$ by ležal v rovine $\alpha$ a zároveň v rovine $\beta$, lebo $p \subset \beta$.  To je spor s predpokladom $a\parallel a'$, keďže $a \cap a'=\emptyset$ .
      

      $\small \blacksquare$