Trojuholník ABC

Dve vety o trojuholníku

Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:
  1. vetu o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku
  2. trojuholníkovú nerovnosť
Tieto vety sa opierajú o tvrdenia súvisiace s uhlami pri základni rovnoramenného trojuholníka (Euklides Základy T/V), tvrdením o vonkajšom uhle trojuholníka(Základy T/XIII), tvrdením, že oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana (Základy T/XIX) a tvrdením T/XXIX.
Veta (Súčet vnútorných uhlov)
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Poznámka.
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
  • T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
  • T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"

Interpretácia tvrdenia.
        Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.

Euklidov dôkaz
 applet
Tvrdenie (Trojuholníková nerovnosť, Euklidove Základy: Kniha prvá, Tvrdenie XX)
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
Dôkaz:
Nech je daný trojuholník  ABC . Na predĺžení strany  BA za bodom  A zvoľme bod  D tak, aby  DA=AC (Post. 2.)
Trojuholník  ACD je rovnoramenný, odkiaľ dostávame:  ∡ADC= ∡ACD (Tvrdenie V)
Teda  ∡BCD >∡ADC . Keďže v trojuholníku  DCB oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí  DB > BC (Tvrdenie XIX)
 Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky:
  1.  BD=AB+AD
  2.  AD=AC
  3. Po dosadení dostávame BD= AB+AC
  4. V trojuholníku  DCB je  ∡BCD >∡ADC , preto    BD >BC
  5. Záver:   AB+AC>BC
Konštrukčný dôkaz - GeoGebra
Poznámka.
Dôkaz sa opiera o tvrdenie "V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana", ktorý Euklides formuluje vo svojich Základoch ako Tvrdenie XIX.
Urobte analogický dôkaz pre nerovnosti:  AB+BC>AC, BC+AC>AB . Ako zvolíte bod  D ?
\( .\)