Dynamický geometrický systém (DGS)

Základné nástroje

Po spustení programu GeoGebra Classik 5 sa zobrazí
    • v hornej časti pracovnej plochy hlavné menu a lišta s nástrojmi
    • vľavo - Algebraické okno, vpravo - Nákresňa a dole - Vstup/vstupné pole resp. príkazový riadok
    • východiskové nastavenie je možné upraviť pomocou menu Vzhľad
    • nastavte si farbu, štýl a popis bodu, ... a potom si uložte prázdny prednastavený výkres pod názvom "PrednaskaGeoGebra_Vykres1".
Príklad. Zostrojte trojuholník \small \triangle ABC , ak poznáte dĺžky strán  \small a=BC, b=AC, c=AB .
Komentár k riešeniu
  1. Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu.
  2. Pomocou menu Vzhľad si aktivujte aj Postup konštrukcie
    • v časti Nákresňa budeme rysovať
    • v Geometrickom okne 2 budeme zapisovať komentár k riešeniu
    • v okne Postup konštrukcie program automaticky zapisuje kroky konštrukcie.
  3. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
    • vytvorenie posuvníkov  a,b,c
    • zostrojenie bodu \small A a úsečky s danou dĺžkou  c
    • zostrojenie kružníc \small  k_1=(A, b), k_2=(B,a) a ich priesečníka \small C
    • zapisovanie komentárov.
  4. V prípade, že chcete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok),stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť políčko "Zobraziť upravené priesečníky priamok". Tento postup sa dá použiť aj pre priesečník dvoch priamok.
  5. Nastavte posuvníky  a,b,c tak, aby úloha mala 2 riešenia resp. jedno alebo nemala riešenie.
  6. Konštrukciu si môžete stiahnuť Tu.
Poznámky.
  1. Konštrukcia uvedená pre prípad  AB=BC=AC  je prvým tvrdením v Euklidových Základoch (  \sigma \tau o \iota \chi \epsilon \iota \alpha ).
  2. Ide vlastne o prvý matematický dôkaz aj z pohľadu historického. Pred Euklidom existovali tvrdenia ale bez dôkazu, pozrite si napríklad tvrdenia od Tálesa Tu.
  3. Je prekvapujúce, že taký krátky, jasný a zrozumiteľný dôkaz môže mať logické medzery. V priebehu storočí si vyslúžil viac kritiky ako ktorýkoľvek iný dôkaz.
    • Zeno Sidon2) : "Nepreukázalo sa, že strany sa nestretnú skôr, ako dosiahnu vrcholy."
    • Existujú modely geometrie, v ktorých sa kruhy nepretínajú. Napr. afinný priestor nad poľom racionálnych čísel.
  4. Potrebné sú ďalšie postuláty napr. :
    • "Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka."
    • "Ak je súčet polomerov dvoch kruhov väčší ako úsečka spájajúci ich stredy, potom sa dva kruhy pretínajú."
Dynamické geometrické systémy sa vyznačujú vysokou mierou interaktivity a vizualizácie.
  1. Interaktivita DGS umožňuje zmenu vstupných parametrov, ktorá indukuje zmeny v skonštruovaných útvarov. Interaktívna zmena môže byť polohová alebo metrická. Príklad Hypocykloida.
  2. Vizualizácia je schopnosť znázorniť základné aj odvodené geometrické pojmy a vzťahy medzi nimi. (Žilková, 2011)1)
  3. Úroveň vizualizácie priamo závisí od reprezentácie východiskových elementárnych pojmov/objektov.
  4. Východiskovým pojmom v DGS je bod.
  5. Odvodené pojmy (priamka, kruh, ...) sú definované ako množiny bodov s danou vlastnosťou v súlade s axiomatickým poňatím geometrie.
V GeoGebre je bod vizuálne modelovaný ako "krúžok" ale reálne je bod reprezentovaný ako usporiadaná dvojica reálnych čísel.
Poznámky.
  1. V DGS môže byť bod modelovaný aj pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly   \times,+, \diamond  .
  2. Väčší výber symbolov rôznej hrúbky a širokej farbenej škále pomáha rozvíjať geometrickú predstavivosť.
  3. Symbolicky pre bod platí  A \in E_2 \Leftrightarrow A=[a,b];a,b \in R  .
  4. Priamka je určená práve dvoma rôznymi bodmi. V GeoGebre je priamka modelovaná pomocou grafu lineárnej funkcie.
  5. Úsečka ako množina bodov, ktoré ležia medzi dvoma bodmi.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1) Žilková, K.: DYNAMICKÉ GEOMETRICKÉ SYSTÉMY (DGS) - SOFTVÉROVÁ PODPORA VZDELÁVANIA. Journal of Technology and Information Education.
     Časopis pro technickou a informační výchovu. 1/2011, Volume 3, Issue 1, ISSN 1803-537X. Dostupné na https://jtie.upol.cz/pdfs/jti/2011/01/12.pdf.
2) Epikureánsky filozof zo začiatku prvého storočia B.C.E. (nezamieňať si so Zenom z Eley, ktorý je známy paradoxmi).
\( .\)