Dynamický geometrický systém
Nový nástroj
Program GeoGebra má k dispozícii pomerne veľa nástrojov na narysovanie základných geometrických útvarov tak v rovine ako aj 3D priestore.
Niekedy pri konštrukciách, ktoré sú úzko tematicky zamerané, sa vyskytne potreba vytvoriť nový nástroj.
Napríklad euklidovská konštrukcia na zostrojenie dvoch navzájom kolmých kružníc je východisková konštrukcia aj pre hyperbolickú neeuklidovskú geometriu. Preto by bolo výhodné mať k dispozícii nástroj v GeoGebre, ktorý vytvorí/vykreslí takúto kružnicu.
Otvorte si applet Tu
Napríklad euklidovská konštrukcia na zostrojenie dvoch navzájom kolmých kružníc je východisková konštrukcia aj pre hyperbolickú neeuklidovskú geometriu. Preto by bolo výhodné mať k dispozícii nástroj v GeoGebre, ktorý vytvorí/vykreslí takúto kružnicu.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/389250/mod_book/chapter/9222/KolmeKruznnice_Komplet%20%283%29.png)
Definícia
Budeme hovoriť, že kružnice
sú navzájom kolmé (ortogonálne), ak platí
zostrojené v ich priesečníkoch
sú tiež navzájom kolmé.
Budeme hovoriť, že kružnice
![\small \omega (O,r),\;k(O',r') \small \omega (O,r),\;k(O',r')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5875bb2f930963ca7a2a642719f895f9.png)
![\small (O'=t_p\cap t_q) \wedge (O=t'_p \cap t'_q) \small (O'=t_p\cap t_q) \wedge (O=t'_p \cap t'_q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/59c212f065c79c1d91bb78281b4fb7bc.png)
zostrojené v ich priesečníkoch
![P,Q=k\cap \omega P,Q=k\cap \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad2b011626d499a5dd887661b8b9a62f.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/389250/mod_book/chapter/9222/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202022-08-23%20%283%29.png)
Korektnosť definície vyplýva z konštrukcie znázornenej na obrázku.
» Polomer
![\small OP \small OP](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6e76a19afb0c188c1f3afcba49cc54e.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d1b7b74aba3cfabd624e898d86b4602.png)
![t_p t_p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3de5527979a2c057460db8a48f260e5f.png)
» Trojuholník
![\small OO’P \small OO’P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce04846aca1cc35b3537c3c0be09ac58.png)
![\small OO’Q \small OO’Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2786fba6514ecc829565d8eaa3a9c894.png)
Rozbor úlohy
Musíme rozlíšiť tri samostatné prípady
Musíme rozlíšiť tri samostatné prípady
- Ak sú body
kolineárne, tak reálne neexistuje kružnica
prechádzajúca cez
. Stred takejto kružnice je nevlastný bod. Priamku
budeme považovať za jedno z riešení našej úlohy. Má to zmysel práve pri neeuklidovskej geometrii.
- Body
sú nekolineárne a napríklad
. V tomto prípade budeme postupovať tak, že postupne zostrojíme:
→ Bodtak, aby
.
→ Kružnicu k, ktorá prechádza bodmi.
Z mocnosti boduku kružnici
vyplýva, že
.
Posledná rovnosť hovorí, že kružnicesú ortogonálne.
- Obidva body
ležia na kružnici
. V takom prípade stačí zostrojiť priesečník
dotyčníc ku kružnici
v bodoch
. Priesečník
je stred hľadanej kružnice
.
Riešenie
Pre každý prípad 1, 2, 3 vytvoríme samostatnú konštrukciu kružnice
, ktoré si vhodne nazveme pre prípad:
1. použijeme názov „Diameter“
2. použijeme názov „Oblúk“
3. použijeme názov „Ideál“
Po vytvorení takýchto troch samostatných konštrukcií kružníc potom vytvoríme rozhodovací blok, v ktorom na základe polohy bodov
vzhľadom ku kružnici
vyberieme odpovedajúcu kružnicu
- Diameter, Oblúk, Ideál.
Pre každý prípad 1, 2, 3 vytvoríme samostatnú konštrukciu kružnice
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
1. použijeme názov „Diameter“
2. použijeme názov „Oblúk“
3. použijeme názov „Ideál“
Po vytvorení takýchto troch samostatných konštrukcií kružníc potom vytvoríme rozhodovací blok, v ktorom na základe polohy bodov
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2a729adebe617741bcaf3119525e753d.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d1b7b74aba3cfabd624e898d86b4602.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
Diameter – príkazy v GeoGebre.
P1: Priesečník(Kružnica((0, 0), 1), Priamka(A, B), 1)
P2: Priesečník(Kružnica((0, 0), 1), Priamka(A, B), 2)
o: OsÚsečky(P1, P2)
c1: Kružnica((0, 0), 1000)
O1: Priesečník(c1, o, 1)
Diameter: Kružnica(O1, 1000)
Oblúk – príkazy v GeoGebre.
A‘: Súmernosť(A, Kružnica((0, 0), 1))
B‘: Súmernosť(B, Kružnica((0, 0), 2))
Oblúk: Ak(Dĺžka(A) ≟ 1, Kružnica(A, B, B'), Kružnica(A, B, A'))
Ideál – príkazy v GeoGebre.
p1: Kolmica(A, Priamka((0, 0), A))
p2: Kolmica(B, Priamka((0, 0), B))
O3: Priesečník(p1, p2)
Ideál: Kružnica(O3, A)
Všetky tri konštrukcie „Diameter“, „Oblúk“ a „Ideál“ spojíme do jednej konštrukcie s názvom „Kolmá Kružnica“. Výsledok vidíme na obrázku.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/389250/mod_book/chapter/9222/KolmeKruznnice_Komplet_B.png)
Applet si stiahnete Tu.
Postup na vytvorenie nástroja
- Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor "Kolmá Kružnica".
- V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
- Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
- ako výstupné objekty vyberte kružnicu
(otvorte si aj algebraické okno)
- ako vstupné objekty vyberte body:
- vhodne pomenujte nástroj, napr. "Kolmá kružnica", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
- v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body
- zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
- ako výstupné objekty vyberte kružnicu
- Uložte si tento súbor napr. s názvom "Kolmá kružnica". Kompletnú konštrukciu si stiahnite Tu.
Poznámka